初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数优秀课后复习题

这是一份初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数优秀课后复习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知α为锐角，且sin(α−10∘)= 32，则α等于( )
A. 70∘B. 60∘C. 50∘D. 30∘
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD=∠α，则下列结论一定成立的是( )
A. OE=m⋅tanα
B. CD=2m⋅sinα
C. AE=m⋅csα
D. S△COD=12m2⋅sinα
3.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA−12)2+|csB− 32|=0，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则tanA的值为
A. 817B. 1517C. 815D. 158
5.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为( )
A. 33B. 55C. 2 33D. 2 55
6.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为( )
A. 12B. 920C. 25D. 13
7.已知α为锐角，且sinα= 32，则α的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
8.若sin(∠A+15°)= 32，则tanA的值为( )
A. ．12B. 33C. 1D. 22
9.若∠BAC放在正方形网格纸的位置如图所示，则tan∠BAC的值为
( )
A. 16B. 15C. 13D. 12
10.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF.若∠AOE=150°，DF= 3，则EF的长为
( )
A. 2 3B. 2+ 3C. 3+1D. 3
11.如图在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于( )
A. 3
B. 2
C. 52
D. 32
12.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，若AC=2 3，AB=3 2，则tan∠BCD的值为( )
A. 2B. 22C. 63D. 33
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cs∠ABC的值为 ．
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB=2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为 ．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cs∠EFC的值是______．
16.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则tan∠AEP= ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：4sin 60∘+(13)−1+|−2|− 12．
18.(本小题8.0分)
已知等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm.求这个等腰三角形底角的正弦．
19.(本小题8.0分)
如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(1,8)，B(3,8)，C(4,7)．
(1)若D(2,3)，请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2∶1；
(2)求∠D的正弦值；
(3)若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为_________．
20.(本小题8.0分)
如图，AB的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC=60°．
(1)求弦AB的长．
(2)求AB的长．
21.(本小题8.0分)
如图，将矩形ABCD沿CE折叠，使点B恰好落在边AD上的点F处，若ABBC=23，求tan∠DCF的值．
22.(本小题8.0分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥AB，∠B=60∘，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
(1)求AD的长：
(2)点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似?若存在，求出x的值：若不存在，请说明理由;
(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
23.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，sinB=35，求tanC和BC的长．
24.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE/​/AB交DO的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=34，求BC的长．
25.(本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD=2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD=∠α，
∴DE=OD⋅sinα=m⋅sinα，
∴CD=2DE=2m⋅sinα，
故选：B．
根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握垂径定理，锐角三角函数的定义等知识．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得，sinA=12，csB= 32，
则∠A=30°，∠B=30°，
则∠C=180°−∠A−∠B=120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
根据非负数的性质可得sinA=12，csB= 32，求出∠A和∠B的度数，继而可判断△ABC的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据非负数的性质得出sinA和csB的值，根据特殊角的三角函数值得出∠A和∠B的度数．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，由数形结合及锐角三角函数的定义可直观解答根据题意画出图形，由三角函数的定义直接解答即可．【解答】
解：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=15，
由锐角三角函数的定义可知：
tanA=BCAC=158.
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键. 连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为1.连结BD，如图，
∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，
∵2+8=10，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
AB= 12+32= 10，AD= 22+22=2 2，
所以csA=ADAB=2 2 10=2 55，
故选D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=(3−x)2，解方程即可得到x，进一步得到EF的长，再根据正切的定义即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 25−9=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则DE=EF=3−x，
在Rt△ECF中，
∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴DE=EF=3−x=53，
∴tan∠DAE=DEAD=535=13，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：∵α为锐角，sinα= 32，sin60°= 32，
∴α=60°．
故选：C．
根据sin60°= 32解答即可．
此题比较简单，只要熟知特殊角度的三角函数值即可．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】
解：∵sin(∠A+15°)= 32，
∴∠A+15°=60°，
∴∠A=45°，
则tan∠A=1．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°．
连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、CD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案．
【解答】
解：连接CD，设小正方形的边长为1，
则AD= 22+22=2 2，
CD= 12+12= 2，AC= 32+12= 10，
∵(2 2)2+( 2)2=( 10)2，
∴∠ADC=90∘，
∴tan∠BAC=CDAD= 22 2=12．
故选D．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，由题意证明△BOE≌△COF(ASA)，所以OE=OF，则△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，解三角形OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长．
【解答】
解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，
∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，
∵∠AOE=150°，
∴∠BOE=60°；
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠BOE=∠COF=60°，
∴△BOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
过点F作FG⊥OD，如图，
∴∠OGF=∠DGF=90°，
∵∠ODC=45°，DF= 3
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴GF=DG=DFsin45°= 22DF= 62，
∴OF=2GF= 6，
∴EF= 2OF=2 3．
11.【答案】A
【解析】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．
则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE=BN.∴∠NBE=90°．
∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC=MN=x，AD=a，则AM=a，DE=2a−x，AE=AN=a+x，
∵AD2+DE2=AE2，
∴a2+(2a−x)2=(a+x)2，
∴x=23a.
∴tan∠AEB=tan∠BNM=BMMN=3．
故选：A．
过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN=CE．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
12.【答案】B
【解析】由勾股定理知，BC= (3 2)2−(2 3)2= 6.根据同角的余角相等，得∠BCD=∠A.∴tan∠BCD=tanA=BCAC= 22.故选B．
13.【答案】45
【解析】略
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数定义，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出BDAB=BMBC=DMAC=12，再根据tan∠BCD=23，设参数表示AC、BC即可求出答案．
【解答】
解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB=∠DMB=90°，∠ABC=∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB=2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在RtCDM中，
由于tan∠BCD=23=DMCM，
设DM=2k，则CM=3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC=2k，AC=4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故答案为：2．
15.【答案】35
【解析】【分析】
本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
根据翻折变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
【解答】
解：由翻折变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cs∠BAF=BAFA=35，
∴cs∠EFC=35．
故答案为35．
16.【答案】12
【解析】略
17.【答案】解：原式=4× 32+3+2−2 3
=2 3+3+2−2 3
=5．

【解析】【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简即可．
18.【答案】2 23或 74
【解析】略
19.【答案】解：(1)如下图所示，△DEF即为所求；
(2)如图，作FG⊥DE于G，
∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6，
∴DF= FG2+DG2= 22+62=2 10，
∴sin∠D=FGDF=22 10= 1010；
(3)(2,6)．
【解析】【分析】
本题考查了作图−相似变换，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的外接圆与外心，难度适中．
(1)根据网格结构，作出DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC的三角形即可；
(2)作FG⊥DE于G，在Rt△DFG中利用正弦函数的定义即可求解；
(3)利用网格图作AB、BC的垂直平分线，交点即为点P．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图：分别作AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P(2,6)，
故答案为(2,6)．
20.【答案】解：(1)∵AB的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC=60°，
∴AC=OA⋅sin60°=2× 32= 3，
∴AB=2AC=2 3；
(2)∵OC⊥AB，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2，
∴AB的长是：120π×2180=4π3．
【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据锐角三角函数的定义，可以求得AC的长，然后即可得到AB的长；
(2)根据∠AOC=60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．
21.【答案】由题意，得AB=DC，BC=CF，∴cs∠DCF=DCCF=ABBC=23，设DC=2a，则CF=3a，DF= CF2−DC2= 5a，∴tan∠DCF=DFDC= 52．
【解析】见答案
22.【答案】解：(1)过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，
∴CE=BC⋅sin∠B=4× 32=2 3，
∴AD=CE=2 3．
(2)存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠P2CB=90°时，在Rt△P2CB中，BC=4，∠B=60°，P2B=8，
∴AP2=AB−P2B=2．
又由(1)知AD=2 3，在Rt△ADP2中，tan∠DP2A=ADAP2=2 32= 3，
∴∠DP2A=60°，
∴∠DP2A=∠CBP2，
∴△ADP2∽△CP2B，
∴存在△ADP2与△CP2B相似，此时x=AP2=2．
②∵当∠CP1B=90°时，在Rt△P1CB中，∠B=60°，BC=4，
∴P1B=2，P1C=2 3，
∴AP1=8．
则ADP1C≠AP1P1B且ADP1B≠AP1P1C，此时△P1CB与△ADP1不相似．
综上，满足条件的x的值为2；
(3)如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=π⋅(PD2)2=π⋅12+x24，
①当2作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM.则BM为△PCB外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH=12BC=2，∠MGB=30°，
∴BG=4，
∵BN=12PB=12(10−x)=5−12x，
∴GN=BG−BN=12x−1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN⋅tan∠MGN= 33(12x−1)．
在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=13x2−163x+763，
∴S2=π⋅BM2=π(13x2−163x+763).
②∵当0∴S=S1+S2=π⋅12+x24+π(13x2−163x+763)=712π(x−327)2+1137π，
∵(x−327)2≥0，
∴712π(x−327)2+1137π≥1137π，
∴当x=327时，S=S1+S2取得最小值1137π.
【解析】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义、非负数的性质、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．
(1)过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC⋅sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；
(2)若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠P2CB=90°时，求出AP2，再根据在Rt△ADP2中∠DP2A=60°，得出∠DP2A=∠B，从而得到△ADP2∽△CP2B，此时x=AP2=2；②当∠CP1B=90°时，求出AP1=8，根据ADP1C≠AP1P1B且ADP1B≠AP1P1C，得出△P1CB与△ADP不相似．
(3)先求出S1=π⋅12+x24，再分两种情况讨论：①当223.【答案】过点A作AD⊥BC于D，如图所示.在Rt△ABD中，AB=25，sinB=ADAB=35，∴AD25=35，∴AD=15，在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= 392−152=36，∴tanC=ADCD=1536=512;在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 252−152=20，∴BC=BD+CD=20+36=56．

【解析】见答案
24.【答案】(1)证明：∵点O是AC中点，
∴OA=OC，
∵CE/​/AB，
∴∠DAO=∠ECO，
在△AOD和△COE中，
∠DAO=∠ECOOA=OC∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE(ASA)，
∴AD=CE，
∵CE/​/AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
(2)由(1)知，四边形AECD是菱形，
∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO=ODOA=tan∠BAC=34，
设OD=3x，OA=4x，
则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：12×6x×8x=24，
解得：x=1，
∴OD=3，
∵O，D分别是AC，AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=6．
【解析】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
(1)由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；
(2)由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．
25.【答案】解：(1)如图，作AC的垂直平分线，交圆O于点D，
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，且AC=8，BC=6．
∴AB= AC2+BC2=10，
∵OD⊥AC，
∴AE=CE，
又∵OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12BC=3，
即点O到AC的距离为3，
∵DE=OD−OE=5−3=2，CE=12AC=4，
∴CD= DE2+EC2= 22+42=2 5，
∴sin∠ACD=DECD=22 5= 55．
【解析】本题考查尺规作图，三角形中位线定理，垂径定理，锐角三角函数定义等知识点．
(1)利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线即可；
(2)根据垂径定理、勾股定理可求出直径AB=10，AE=EC=4，由三角形中位线定理可求出OE，即点O到AC的距离，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．