浙教版九年级下册1.3 解直角三角形精品综合训练题

这是一份浙教版九年级下册1.3 解直角三角形精品综合训练题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是
( )
A. 2B. 12C. 23D. 55
2.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为( )
A. 12B. 5C. 5 32D. 5 3
3.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( )
A. 200tan70°米B. 200tan70∘米C. 200sin 70°米D. 200sin70∘米
4.如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF//AB，若⊙O的半径为4 33，则DE的长为
( )
A. 3−1B. 5+12C. 5−1D. 3+12
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC= 3，那么∠B的度数是
( )
A. 15°B. 45°C. 30°D. 60°
6.我们给出定义：如果两个锐角的和为45∘，那么称这两个角互为半余角.如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且BCAC= 22，则tanA的值为( )
A. 12B. 13C. 22D. 1010
7.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB的中垂线MN交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC=35，则BC=( )
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
8.如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行30 2km至B港，然后再沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向上，则A，C两港之间的距离( )
A. (30+30 3)kmB. (30+10 3)kmC. (10+30 3)kmD. 30 3km
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为
( )
A. m⋅tanα⋅csα；B. m⋅ctα⋅csα；
C. m⋅tanαcsα；D. m⋅tanαsinα．
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD= 3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. 33
B. 32
C. 1
D. 62
11.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA=45°，AC=20米，∠BAC=60°，则这棵乌稔树的高AB约为(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)( )
A. 7米B. 14米C. 20米D. 40米
12.已知点A(−2,0)，B(6,0)，C(0,m)，以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC(B,P,C三点按顺时针方向排列)，使∠BPC=90°，tan∠BCP=2，连接AP，当线段AP的长最短时，点P的横坐标为( )
A. −1B. −25C. 1D. 45
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AB=6，BD=2，则CD的长为 ．
14.如图，Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，AB=6，BD=2，则CD的长为 ．
15. 如图，在△ABC中，sinB=13，tanC= 22，AB=3，则AC的长为 ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=35，则DE= ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的中线，tanB=15，csC= 22，AC= 2.求：
(1) BC的长;
(2)∠ADC的正弦值．
18.(本小题8.0分)
如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离．( 3≈1.73, 2≈1.4，结果保留一位小数)．
19.(本小题8.0分)
如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上．
(1)填空：∠AMB= ______ 度，∠BCM= ______ 度；
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．
20.(本小题8.0分)
如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离.( 3≈1.73, 2≈1.41，结果保留一位小数)
21.(本小题8.0分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75.)
22.(本小题8.0分)
如下图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)(参考数据：sin22°≈ 3 8，cs22°≈ 15 16，tan22°≈ 2 5)
23.(本小题8.0分)
如图1是一台电脑支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕B，C转动，测量知AB=10cm，BC=6cm，当AB，BC转动到∠ABC=90°时，∠BCD=37°时，求点A到CD的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
24.(本小题8.0分)
如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E处竖立一根高1.5米的标杆DE，发现地面上的点A、标杆顶端D与楼顶B在一条直线上，测得AE=1米；然后他站在F处利用等腰直角三角形测得视线GB与水平面的夹角∠BGM=45°，小华的眼睛到地面的距离GF=1.5米，AF=1.5米.已知点F、A、E、C在同一直线上，GF⊥FC，DE⊥FC，BC⊥FC.请根据以上所测数据，计算楼高BC．
25.(本小题8.0分)
(2021·北京·中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90∘，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC,BE=5,csB=45，求BF和AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，
∴∠AED=∠ABK，
∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK=12，
故选：B．
如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，求出tan∠ABK即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°.连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
【解答】
解：连接OC交AB于点E，连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵点C为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AE，
在Rt△OAE中，OA=5，
∴AE=OA·sin60°=5 32，
∴AB=5 3，
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，
即河宽200tan70∘米，
故选：B．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理以及垂径定理，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，利用垂径定理正确求得EF的长是解题的关键．根据等边三角形的性质求得圆的半径，然后根据中位线定理求得DG的长，利用勾股定理求得EG，即可求得EF的长，根据ED=EF−DG2即可求解．
【解答】
解：连接OC交EF于M，延长CM交AB于点H.连接OA，连接OE．
在直角△OAH中，AH=OA⋅cs30∘=4 33× 32=2，
∴AB=2AH=4，
又∵弦EF经过BC边的中点D，且EF//BA．
∴DG=12AB=2，
在直角△ACH中，CH=AC⋅sin60∘=4× 32=2 3，
∴OH=2 3−4 33=2 33，HM=12CH= 3，
∴OM=HM−OH= 33，
在直角△OME中，EM= OE2−OM2= 5，
∴EF=2 5，
∴ED=EF−DG2= 5−1．
故选C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tanB=ACBC= 31= 3，
∴∠B=60°，
故选D．
6.【答案】B
【解析】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵BCAC= 22，
∴设BC= 2a，AC=2a，
∵∠A，∠ABC互为半余角，
∴∠A+∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠A+∠ABC=45°，
在Rt△CDB中，BD=BC⋅sin45°= 2a⋅ 22=a，
CD=BC⋅cs45°= 2a⋅ 22=a，
∵AC=2a，
∴AD=AC+CD=2a+a=3a，
在Rt△ABD中，tanA=BDAD=a3a=13．
要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45°，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，考查了锐角三角函数的定义．根据垂直平分线性质可知BD=AD，所以BD+CD=AC；根据cs∠BDC=35可求出BD和CD，从而根据勾股定理求出BC．
【解答】
解：∵MN为AB的中垂线，
∴BD=AD．
设AD=acm，
∴BD=acm，CD=(16−a)cm，
∴cs∠BDC=CDBD=16−aa=35，
∴a=10．
∴在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，
∴BC=8cm．
故选C．
8.【答案】B
【解析】由题意，得∠CAB=65∘−20∘=45∘，
∠ACB=40∘+20∘=60∘，AB=30 2km．
如图，过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB=∠CEB=90∘.在Rt△ABE中，
∵∠ABE=45∘，AB=30 2km，
∴AE=BE= 22AB=30km．
在Rt△CBE中，
∵∠ACB=60∘，
∴CE= 33BE=10 3km，
∴AC=AE+CE=(30+10 3)km，
∴A，C两港之间的距离为(30+10 3)km.故选B．
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，BD= 3，
∴AD=BD= 3，
∵∠C=60°，
∴DC=ADtan60∘= 3 3=1，
∴AC=2，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF=12AC=1．
故选：C．
由等腰直角三角形的性质求出AD=BD= 3，由锐角三角函数的定义求出DC=1，由三角形的中位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵∠BCH=45°，∠BHC=90°，
∴∠HCB=∠HBC=45°，
∴HC=HB，设HC=BH=xm，
∵∠A=60°，
∴AH= 33x，
∴x+ 33x=20，
∴x=10(3− 3)，
∴AB=2AH=2× 33×10(3− 3)≈14(m)
故选：B．
如图，作BH⊥AC于H.设BH=CH=x，构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△BPC中，tan∠PCB=PBPC=2，
∴PB=2PC，
设P(a,b)(由题意知，ab≤0)
过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
∴E(a,0)，F(0,b)，∠PEB=∠PFC=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPC=90°，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠PEB=∠PFC=90°，
∴△PEB∽△PFC，
∴BECF=PBPC=PEPF=2，
∴BE=2CF，PE=2PF，
∴|b|=2|a|，
∵ab<0，
∴b=−2a，
∴b2=4a2，
∵A(−2,0)，P(a,b)，
∴AP2=(a+2)2+b2=a2+4a+4+b2=a2+4a+4+4a2=5a2+4a+4=5(a+25)2+165，
∴a=−25时，AP最短，最短值为4 55，
∴b=−2a=45，
∴P(−25,45)，
故选：B．
先确定出PE=2PF，进而求出AP，利用AP最短，求出a的值．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
13.【答案】2 2
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明三角形相似是解题的关键．证明 ▵BCD∽▵CAD ，得到 CDAD=BDCD ，结合已知代入计算即可．
【详解】∵ ∠ACB=90∘ ， CD⊥AB ，
∴ ∠BDC=∠CDA=90∘ ， ∠B=90∘−∠BCD=∠ACD ，
∴ ▵BCD∽▵CAD ，
∴ CDAD=BDCD ，
∵ AB=6 ， BD=2 ，
∴ AD=4
∴ CD2=AD•BD=8 ，
解得 AD=2 2,AD=−2 2 (舍去)．
故答案为： 2 2 ．
14.【答案】2 2
【解析】略
15.【答案】 3
【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．
【解答】
解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，
∴AD=AB⋅sinB=1，
在Rt△ACD中，tanC= 22，
∴ADCD= 22，即CD= 2，
根据勾股定理得：AC= AD2+CD2= 1+2= 3，
故答案为 3．
16.【答案】154
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的知识，勾股定理，相似三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．
在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
【解答】
解：∵BC=6，sinA=35，
∴AB=10，
∴AC= 102−62=8，
∵D是AB的中点，
∴AD=12AB=5，
∵∠A=∠A ,∠ADE=∠ACB=90°
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，即DE6=58，
解得：DE=154．
故答案为154．
17.【答案】【小题1】
如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵csC= 22=CHAC，AC= 2，
∴CH=1，AH= AC2−CH2=1，在Rt△ABH中，
∵tanB=AHBH=15，∴BH=5，∴BC=BH+CH=6;
【小题2】
∵BD=CD，∴CD=3，DH=2，AD= AH2+DH2= 5，在Rt△ADH中，sin∠ADH=AHAD= 55．∴∠ADC的正弦值为 55．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD=BDBC，cs∠BCD=CDBC，
∴BD=BC⋅sin∠BCD=20×3× 22≈42，CD=BC⋅cs∠BCD=20×3× 22≈42；
在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD=CD⋅tan∠ACD=42× 3≈72.7．
∴AB=AD+BD=72.7+42=114.7．
∴A，B间的距离约为114.7海里．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
19.【答案】30 45
【解析】解：分别过点C、M，作CD⊥AB，ME⊥AB，垂足分别为D、E．
(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60°，∠A=30°，
∴∠AMB=30°．
∵AB、CM都是正北方向，
∴AB/​/CM．
∵∠DBC=45°，
∴∠BCM=45°．
故答案为：30，45．
(2)由(1)知∠A=∠AMB，
∴AB=BM=20海里．
在Rt△EBM中，
sin∠EBM=EMBM，
∴EM=sin∠EBM⋅BM
=sin60°×20
= 32×20
=10 3(海里)．
答：灯塔M到轮船航线AB的距离为10 3海里．
(3)∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，
∴四边形DEMC是矩形．
∴CD=EM=10 3海里，DE=CM．
在Rt△CDB中，
∵∠DBC=45°，
∴∠DBC=∠DCB．
∴DB=DC=10 3海里．
在Rt△EMB中，
cs∠DBM=EBBM，
∴EB=cs∠DBM⋅BM
=cs60°×20
=12×20
=10(海里)．
∴CM=DE=DB−EB
=10 3−10
=10( 3−1)海里．
答：港口C与灯塔M的距离为10( 3−1)海里．
(1)先说明AB/​/CM，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论；
(2)先利用等腰三角形的性质先说明BM与AB的关系，再在Rt△EBM中利用直角三角形的边角间关系得结论；
(3)先说明四边形DEMC是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
20.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，如图所示．
在Rt△BCD中，sin∠BCD=BDBC，cs∠BCD=CDBC，
∴BD=BC⋅sin∠BCD=20×3× 22≈42.3，CD=BC⋅cs∠BCD=20×3× 22≈42.3；
在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD=CD⋅tan∠ACD=42.3× 3≈73.2．
∴AB=AD+BD=73.2+42.3=115.5．
∴A，B间的距离约为115.5海里．
【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，通过解直角三角形，求出BD，AD的长是解题的关键．
21.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45°，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=6，
解得DH≈18，
在Rt△DAH中，∠ADH=26°，
∴AD=DHcs26∘≈20．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
【解析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
22.【答案】解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x.Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+13，
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB−BM=AB−CE=x−2，
tan22°=AMME，
则x−2x+13=25，
解得：x=12．
即教学楼的高为12m．
(2)由(1)可得ME=BC=x+13=12+13=25．
在Rt△AME中，cs22°=MEAE．
∴AE=MEcs22∘≈251516≈27，
即A、E之间的距离约为27m．
【解析】本题考查解三角形的应用，属于中档题．
(1)首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=AMME，求出即可；
(2)利用Rt△AME中，cs22°=MEAE，求出AE即可．
23.【答案】解：过点A作AE⊥CD，交FC的延长线于点E．
过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，垂足分别为G、F．
∵AE⊥CD，BG⊥AE，BF⊥CD，
∴四边形GEFB是矩形，GB//ED．
∴GE=BF，∠GBC=∠BCF=37°．
∴∠ABG=∠ABC−∠GBC=90°−37°=53°．
在Rt△BCF中，
∵sin∠BCD=BFBC，
∴GE=BF=sin∠BCD⋅BC≈0.6×6=3.6(cm)．
在Rt△BAG中，∠A=90°−∠ABG=90°−53°=37°．
∵csA=AGAB，
∴AG=csA⋅AB≈0.8×10=8(cm)．
∴AE=AG+GE=8+3.6=11.6(cm)．
答：点A到CD的距离为11.6cm．
【解析】过点A作AE⊥CD，过点B作BG⊥AE，BF⊥CD，构造矩形GEFB和直角△BCF、△AGB，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出BF、AG，最后利用线段的和差关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：如图，连接GD并延长交BC于点M，则GM⊥BC，
∵AE=1米，AF=1.5米，DE=GF=MC=1.5米，
∴GD=EF=1.5+1=2.5(米)，
设BC=x米，则BM=(x−1.5)米，
∵∠BGM=45°，
∴BM=GM=(x−1.5)米，EC=DM=GM−GD=x−1.5−2.5=(x−4)米，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，
即1.5x=11+x−4，
解得x=9，
即BC=9米，
答：楼高BC为9米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】(1)见详解；(2) BF=4 ， AD=3
【解析】【分析】(1)由题意易得AD // CE，然后问题可求证；
(2)由(1)及题意易得EF=CE=AD，然后由 BE=5,csB=45 可进行求解问题．
【详解】(1)证明：∵ ∠ACB=∠CAD=90∘ ，
∴AD // CE，
∵ AE//DC ，
∴四边形 AECD 是平行四边形；
(2)解：由(1)可得四边形 AECD 是平行四边形，
∴ CE=AD ，
∵ EF⊥AB ， AE 平分 ∠BAC ， ∠ACB=90∘ ，
∴ EF=CE ，
∴EF=CE=AD，
∵ BE=5,csB=45 ，
∴ BF=BE⋅csB=5×45=4 ，
∴ EF= BE2−BF2=3 ，
∴ AD=EF=3 ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．