浙江省台州市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省台州市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：150分考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，然后由交集运算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在写命题否定中要把存在变任意，任意变存在.
【详解】因为特称命题的否定为全称命题，
所以的否定即为.
故选：C.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 不等式的解集是
C. D. 不等式的解集是或
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.
【详解】由于关于的不等式的解集为或，
所以（A选项正确），且，整理得，
由得，所以不等式的解集是，
所以B选项错误.
，所以C选项正确.
，
解得或，所以D选项正确.
故选：B
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
解得，或.
故选：A．
6. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得函数在及时，单调递减，且，进而即得.
【详解】由题意可知：在上单调递减，即；
在上也单调递减，即；
又是上的减函数，则，
∴，
解得．
故选：C．
7. 已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解.
【详解】对，满足，
等价于函数在上单调递增，
又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.
则可化为，
解得.
故选：B.
8. 函数，.若存在，使得，则的最大值是（ ）
A. 8B. 11C. 14D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值.
【详解】因为存在，
使得，
故.
令，，则，
故，因为
故，故.
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到满足的条件，本题属于较难题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对实数，，，，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 是的充要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，，由不等式的同向可加性可得，故B正确；
对于C，，由不等式的同向可加性可得，故C正确；
对于D，若，明显，不能得出，充分性不成立，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的图象关于直线对称
C. D. 的值域是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A，利用特值可判断，直接求函数值可判断C，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.
【详解】由，可得，所以的定义域为，则A正确；
因为，，所以，所以的图象不关于直线对称，则B错误；
因为，所以，则C正确；
因为，所以，且，
所以，且，
当时，，即，
当时，，即，
所以的值域是，故D错误．
故选：AC.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，，若，则有
D. 方程的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：取，不成立；
对于B：设， 讨论 与求解；
对于C：，，由得证；
对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.
【详解】对于A：取，，故A错误；
对于B：设,
，
当时，，，则 ，
则，,故当时成立.
当时，，则 ，
则，故当时成立.
综上B正确.
对于C：设，则，，则，因此，故C正确;
对于D：由知，一定为整数且 ，
所以，所以，所以 ，
由得，
由解得 ，只能取，
由解得 或(舍)，故，
所以或，
当时，当时，
所以方程的解集为，
故选：BCD.
【点睛】高斯函数常见处理策略:
(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.
(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.
(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.
12. 函数，，其中.记，设，若不等式恒有解，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】将问题转化为；分别在和的情况下，得到与的大致图象，由此可得确定的解析式和单调性，进而确定，由可确定的取值范围，由此可得结论.
【详解】由题意可知：若不等式恒有解，只需即可.
，
令，解得：或；
令，解得：或；
①当，即时，则与大致图象如下图所示，
，
在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意；
②当，即时，则与大致图象如下图所示，
，
在，上单调递减，，上单调递增；
又，，
若，则需，即，解得：；
综上所述：实数的取值集合，
，，，，AB错误，CD正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定与图象的相对位置，从而得到的单调性，结合单调性来确定最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．
【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；
∴，函数定义域为，在上单调递增，
不等式等价于，解得；
则实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知，，且，则的最小值是______．
【答案】18
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】由题意可得，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：18
15. 若函数的图象关于直线对称，则_______．
【答案】7
【解析】
【分析】由对称性得，取特殊值求得，再检验满足即可得，
【详解】由题意，即，
所以，即，解得，
此时，
，满足题意．
所以，．
故答案为：7．
16. 设函数存在最小值，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》
【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；
②当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
若，则不存在最小值，故，解得.
此时满足题设；
④当时，，故函数在上单调递减，
当时，；当时，.
因为，所以，
因此不存在最小值.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
（2）根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由于，
①当时，，解得，
②当时，或，
解得．
综上所述，实数的取值范围为．
【小问2详解】
命题，命题，若p是q的充分条件，故，
所以，解得；
所以实数的取值范围为．
18. 2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.
个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）
有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.
（1）请计算表中的数X；
（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.
【答案】（1）
（2）153850元.
【解析】
【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；
（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.
【小问1详解】
按照表格，假设个人全年应纳税所得额为元()，可得：
，.
【小问2详解】
按照表格，级数3，；
按照级数2，；
显然，
所以应该参照“级数3”计算.
假设他的全年应纳税所得额为元，
所以此时，解得，
即他的税前全年应纳税所得额为153850元.
19. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）求证在上是增函数；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）,证明见解析
（2）证明见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可.
【小问1详解】
令，得.
，所以函数奇函数；
【小问2详解】
证明：在R上任取，则，所以.
又，
所以函数在R上是增函数.
【小问3详解】
由，得，.
由得.
因为函数在R上是增函数，
所以，解得或.
故原不等式的解集为或.
20. 已知函数.
（1）讨论函数的奇偶性（写出结论，不需要证明）；
（2）如果当时，的最大值是，求的值.
【答案】（1）答案见解析
（2）1或3
【解析】
【分析】（1）对进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.
（2）将表示为分段函数的形式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得的值.
【小问1详解】
当时，＝，则＝＝，即为奇函数，
当时，＝，，
，则不是奇函数，
，则不是偶函数，
∴当时是奇函数，当时，是非奇非偶函数.
【小问2详解】
由题设，，
函数的开口向上，对称轴为；
函数的开口向下，对称轴为.
1、当，即时，在上是增函数，
∵，∴在上是增函数；
2、当，即时，在上是增函数，
∵1，∴在上是增函数；
∴或，在上的最大值是，
解得（舍去）或；
3、当，即时，在上为增函数，
令，解得或（舍去）.
综上，的值是1或3.
【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义或来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.
21. 已知函数，.
（1）若对任意，存在，使得，求的取值范围；
（2）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将题目条件转化为的值域包含于的值域，再根据的两端点的函数值得到对称轴为，从而得到，进而求出的取值范围；
（2）将不等式化简得不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，求出即可求解.
【小问1详解】
设当，的值域为，当，的值域为，
由题意得，
∴，得，
此时对称轴为，
故，
即得或，
综上可得.
【小问2详解】
由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故.
即实数的取值范围为.
22. 已知函数在区间上的最大值为1．
（1）求实数a值；
（2）若函数，是否存在正实数，对区间上任意三个实数r、s、t，都存在以、、为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意，，然后分，两种情况讨论函数的单调性，即可得出结果；
（2）由题意，可证得在为减函数，在为增函数，设，，则，从而把问题转化为：，时，求实数取值范围．结合的单调性，分，，，四种情况讨论即可求得答案.
【小问1详解】
由题意，
①当时，函数在区间上递减，
所以，得（舍去）．
②当时，函数在区间上递增，
所以，得．
综上所述，．
【小问2详解】
由题意，又，
由（1）知函数在区间上递增，
∴，即，
所以函数在区间上的值域为．
又因为，
∴，
令，则，
当，时，，所以，为减函数；
当，时，，所以，为增函数；
∴在为减函数，在为增函数，
设，由（1）知，∴；
所以，在区间上任意三个实数r、s、t，都存在、、为边长的三角形，等价于，．
①当时，在上单调递增，
∴，，
由，得，从而．
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
由得，从而．
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，，
由得，从而．
④当时，在上单调递减，∴，，
由得，从而．
综上，．
级数
全年应纳税所得额所在区间
（对应免征额为60000）
税率（%）
速算扣除数
1
3
0
2
10
2520
3
20
X
4
25
31920
5
30
52920
6
35
85920
7
45
181920