2023-2024学年上海市洋泾中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市洋泾中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．函数的最小正周期是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由正弦型函数的最小正周期，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数，则最小正周期为.
故答案为：
2．已知向量与垂直，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可得实数的.
【详解】因为向量与垂直，
所以
所以.
故答案为：.
3．已知复数，为虚数单位，则的实部是 ．
【答案】/
【分析】利用复数除法运算法则化简复数，从而得到其实部．
【详解】，则其实部为，
故答案为：．
4．若平面截球所得圆的半径为，球的半径为，则球心到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】直接由勾股定理计算可得.
【详解】因为平面截球所得圆的半径为，球的半径为
球心到平面的距离为．
故答案为：．
5．正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 ．
【答案】
【分析】由正直棱柱的性质得到为直线与底面所成的角，从而求出的长度，即可求出侧面积.
【详解】在正四棱柱中，平面，则为直线与底面所成的角，
依题意可得，又，所以，
所以正四棱柱的侧面积为.
故答案为：
6．已知球的表面积为，则它的体积为 ．
【答案】
【分析】根据球的表面积公式求出半径，再根据球的体积公式计算即可．
【详解】设球的半径为，
由球的表面积为，则，得，
所以球的体积为，
故答案为：．
7．已知等差数列，若，则 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项性质化简求解即可得答案.
【详解】已知等差数列，所以
则，所以
故.
故答案为：.
8．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且面积为，则原平面图形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高的长度是直观图中梯形高的倍，由此即可得解.
【详解】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，
其高的关系是这样的：平面图中的高是直观图长度的倍，
在直观图中，易得的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高的长度是直观图中梯形高的倍，
故其面积是梯形面积的倍，因为梯形的面积为，
所以原梯形的面积是.
故答案为：
9．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为
【答案】12
【分析】设圆锥的母线长为l,求出以S为圆心，SA为半径的圆的面积以及圆锥的侧面积，根据题意，列出方程即可求得答案.
【详解】设圆锥的母线长为l,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积为，
因为当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，
所以，解得，
故答案为：12
10．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为 ．

【答案】/
【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.
【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为.
设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，
所以，所以，为等腰直角三角形，
所以，所以四边形边长为，
所以四边形面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.
故答案为：
二、单选题
11．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定和性质，结合题意，即可容易判断和选择.
【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；
若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，
故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.
故选：.
12．已知直线l、m和平面、，下列命题中的真命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】线面平行及线线垂直，线可以有无数种朝向；线面垂直，线只有一种朝向；面面平行，面只有一种朝向，逐个选项判断即可.
【详解】对A，若，，则可能有，m与相交不垂直，A错；
对B，若，，则，则可能有，l与相交不垂直，，B错；
对C，若，，则，C对；
对D，若，，由于与关系不确定，故l与m关系也不确定，D错.
故选：C
13．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（ ）
A．0B．2C．4D．12
【答案】B
【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可.
【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，
时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直，
其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行；
∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为.
故选：B．
14．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分类讨论底面三角形的形状，再根据三角形三边关系列出不等式，求解即可．
【详解】根据两根长都为的直铁条的相对位置，将底面三角形的三边长分为两种情况：
①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条相邻，
取中点为，连接，如图所示，
由正三角形可知，，
在中，由于，即，
解得；
②当底面三角形边长分别为，三条侧棱长为，即两根长都为的直铁条不相邻，
取中点为，连接 ，如图所示，
由为等腰三角形，得，
在中，，即，解得；
综上所述，的取值范围是，
故选：A．
三、解答题
15．已知数列是首项为8，公比为的等比数列．
(1)求的值；
(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．
【答案】(1)
(2)当或时取得最大值，且
【分析】（1）利用等比数列求和公式计算可得；
（2）首先得到，根据等差数列求和公式求出，再由二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）依题意，，所以，
所以.
（2）由（1）可得，所以，
则，
所以当或时取得最大值，且.
四、未知
16．如图，在长方体中，，，．
(1)求异面直线与所成的角；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先连接，，根据，得到或其补角为异面直线与所成的角，再求其大小即可.
（2）首先连接，根据求解即可.
【详解】（1）连接，，如图所示：
因为，所以或其补角为异面直线与所成的角，
因为，，，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成的角为
（2）连接，如图所示：
因为，，
所以，
设求点到平面的距离为，因为，
所以，解得.
五、解答题
17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.
（2）根据余弦定理可得，由可得，进而可得面积.
【详解】（1）在中，由正弦定理，
又，
所以，即，
解得；
（2）由（1）得，则，
又由余弦定理，，
解得，
所以.
六、未知
18．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元）
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积；
（2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可．
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为，
则，解得，
则，
所以“笼具”的体积．
（2）圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积为，
所以“笼具”的表面积为，
所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元．
19．已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．
(1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；
(2)已知与平面所成角为，求正四棱柱的高；
(3)若，在侧面上存在点，满足点到线段的距离与到线段的距离相等，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面角的定义、异面直线所成角的定义可求出，的大小即可证明；
（2）根据面面垂直的性质定理可以找到点在平面的射影的位置，利用线面角的概念和相似三角形性质可以求出正四棱柱的高.
（3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点坐标，由题意可求出的轨迹方程，计算出的表达式，进行恒等变形后求出最小值即可.
【详解】（1）设正四棱柱的高为，
因为底面，所以，于是有，
因为，所以直线与所成角等于或其补角，
由勾股定理可知，，在等腰三角形中，底边上的高为，
所以，
所以.
（2）因为为正方形对角线与的交点，是以为底边的等腰三角形，
所以，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以点在平面的投影在上，
所以与平面所成角即为，所以，，
又由 可知与相似，
所以，即，解得，即正四棱柱的高为.
（3）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，因为平面，平面，所以，
由题意可知，
所以有，
当时，有最大值，此时，而也达到最小值，
所以有最大值，因此有最小值，最小值为.