2023-2024学年湖南省长沙外国语学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省长沙外国语学校高二上学期期中数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题人：吴逸凡 审题人：付文强
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的离心率为是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
5．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如右图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．2C．D．
8．已知，点为直线上的一点，点为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线的一般式方程可能为（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线和圆，则（ ）
A．直线恒过定点B．存在使得直线与直线垂直
C．直线与圆相交D．直线被圆截得的最短弦长为
11．如图，在正方体中，，点分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ）
A．B．平面
C．线段长度的最大值为1D．三棱锥体积不变
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．长轴长为4，短轴长为B．
C．轴，且D．四边形的内切圆过焦点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数，则的虚部为______．
14．从长度为的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______．
15．圆上点到直线距离的最小值是______．
16．如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知两圆和．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
18．已知分别为三个内角得对边，且．
（1）求；
（2）若，求的面积．
19．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，求二面角的余弦值．
20．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中的值；
（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
21．已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
22．已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）设，若函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围．
参考答案：
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
1．C【分析】 由椭圆的标准方程求解即可．
【详解】 由于椭圆标准方程为：．
，所以，则．
又，所以焦点在轴上，故焦点坐标为：．故选：C．
2．B【分析】 根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质即可求解．
【详解】 设的倾斜角为，易得，由，且得．
故选：B
3．D【分析】 结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可．
【详解】 由解得或，
对于A，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于B，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于C，由得不到，由得不到，
所以是的既不充分也不必要条件，不合题意；
对于D，当成立时，一定有，但是成立时，不一定有成立，所以是的一个充分不必要条件．故选：D．
4．A【分析】 由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距．
【详解】 设椭圆方程为，依题意可知，，
解得，所以椭圆的焦距为．故选：A
5．B【分析】 根据题意，求得圆锥的高，再由圆锥的体积公式，即可得到结果．
【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，
所以，
所以圆锥的体积为．故选：B
6．D【分析】 由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可．
【详解】 由，即，
所以或，又，则，
所以，则，
由．故选：D
7．C【分析】 设球的半径为，从而得到圆柱的底面半径为，高为，从而求出圆柱的表面积和球的表面积，得到答案．
【详解】 设球的半径为，根据题意可得圆柱的底面半径为，高为，设圆柱的表面积为，球的表面积为，
故圆柱的表面积与球的表面积之比为．故选：C
8．D【分析】 令，可得点的坐标为，则，即可得答案．
【详解】 设，令，
则，则．
如图，当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，为，即直线到点距离，为．故选：D
9．BC【分析】 利用排除法，逐一验证选项是否满足题设条件即可得解，或利用直线的截距式方程、斜截式方程、一般式方程分类讨论运算即可得解．
【详解】 解法一：对于选项A，直线不过点，故A错误；
对于选项B，直线过点，又直线过原点，直线在两坐标轴上的截距均为0，直线在两坐标轴上的截距互为相反数，故B正确；
对于选项C，直线过点，
又直线的截距式方程为，
直线在轴、轴上的截距分别为和7，
直线在两坐标轴上的截距互为相反数，故C正确；
对于选项D，直线的截距式方程为，
直线在轴、轴上的截距均为1，
直线在两坐标轴上的截距不是相反数，故D错误；
解法二：由题意，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则
（ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为：，
直线过点，解得：，
直线方程为：，即为．
（ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，直线在两坐标轴上的截距互为相反数，设直线方程为：，
直线过点，解得：，
直线方程为：，即为．
综上知，该直线的一般式方程为或．故选：BC．
10．BCD【分析】 利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D．
【详解】 对于A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误；
对于B，因为直线的斜率为，
所以直线的斜率为，即，
此时直线与直线垂直，满足题意，B正确；
对于C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交，C正确；
对于D，设直线恒过定点，
圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确；故选：BCD．
11．AD【分析】 首先建立空间直角坐标系，利用坐标表示条件中的垂直关系，即可判断选项ABC；利用等体积转化，即可判断D．
【详解】 如图，建立空间直角坐标系，，设，且，
，得，
，所以，故，故A正确；
，
所以与不垂直，则不垂直与平面，故B错误；
所以时，的最大值为，故C错误；
，故D正确．故选：AD
12．BD【分析】 根据椭圆的性质结合解直角三角形一一计算判定即可．
【详解】
对于A项，若长轴长为4，短轴长为，
可知此时，即A错误；
对于B项，若，此时，即，符合定义，即B正确；
对于C项，若轴，且，易得，
且，则，即C错误；
对于D项，若四边形的内切圆过焦点，则到直线的距离为，
此时，
解之得，又，符合定义，即D正确．
故选：BD
13．【分析】 根据复数虚部的定义进行求解即可．
【详解】 因为复数，所以的虚部为，故答案为：．
14．【分析】 采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果．
【详解】 从4条线段中任取3条，则有共4个基本事件；其中三条线段能够成三角形的基本事件有：共1个；
所求概率．故答案为：
15．1【分析】 求出圆心到直线的距离后减去半径可得．
【详解】 由题意圆心为，半径为1，圆心到已知直线的距离为，所以所求距离最小值为．故答案为：1．
16．【分析】 根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积．
【详解】 由已知，得，
则，
在中，由余弦定理，得，
所以，
由，得，
所以，化简解得，
所以的面积为．
故答案为：．
17．（1）（2）
【分析】 （1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程；
（2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程．
【详解】 （1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，
即所求圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的方程为．
18．（1）
（2）
【分析】 （1）根据已知由余弦定定理化简得，再利用余弦定理求得，从而可求角；
（2）利用余弦定理及已知条件求得，代入三角形面积公式即可求解．
【详解】 （1）因为，由余弦定理得：，
整理得：，所以，即，所以
又，所以．
（2）由余弦定理得：，
化简得，解得，所以，
所以的面积为．
19．（1）证明见解析
（2）
【分析】 （1）根据圆的性质可得，根据平面可得，进而得到平面，最后根据面面垂直的判定定理可得结果；
（2）过作于，连结，通过证明平面平面，找到二面角的平面角，进而计算即可．
【详解】 （1）证明：是圆的直径，，
又平面平面，，
，且平面，平面，
又平面，平面平面．
（2）过作于，连结，
平面平面，，
，且平面，
平面，又平面，，
为二面角的平面角，
在中，，
，则，
二面角的余弦值为．
20．（1）0.025；（2）71；（3）88．
【分析】 （1）由直方图区间频率和为1求参数；
（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；
（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应分数即可．
【详解】 （1）由，解得；
（2），故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；
（3）设受嘉奖的学生分数不低于分，因为对应的频率分别为，所以，解得，故受嘉奖的学生分数不低于88分．
21．（1）
（2）证明见详解
【分析】 （1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可．
【详解】 （1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为．
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去得：，则，解得，
可得，因为，则直线，令，解得，即，
同理可得，
则
所以线段的中点是定点．
【点睛】 方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
22．（1）（2）（3）
【分析】 （1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．
【详解】 （1）函数的定义或为，
函数为偶函数．
，即，
，；
（2），
当时，单调递增，在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
解得或，
所以所求不等式的解集为；
（3）函数与图象有2个公共点，
即
设，则，即，
又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；
解得，即的取值范围为．1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
A
B
D
C
D
9
10
11
12
BC
BCD
AD
BD