2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.
【详解】由空间直角坐标系的性质可知，
点关于平面对称的点的坐标是.
故选：A
2．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据斜率计算倾斜角即可.
【详解】直线的斜率为，则由，知，即
故选:B．
3．若直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两条直线垂直的条件可得.
【详解】由题意可知，解得.
故选：B.
4．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内切D．相交
【答案】D
【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可.
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，即两圆相交.
故选：D
5．直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用弦长公式即可求解.
【详解】由圆，得圆心，半径为，
则，圆心到直线的距离为，
故直线被圆截得的弦长为.
故选：B
6．一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距．
【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.
因为，所以反射光线所在直线的方程为.
令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.
故选：C．
7．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.
【详解】由圆，则其圆心，半径为，
设动圆的圆心为，半径为，
由圆在圆的内部与其相切，则，
由圆过点，则，即，
所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，
，所以其轨迹方程为.
故选：D.
8．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）
A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h
【答案】B
【详解】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线被圆 截得弦长为 ，所以B城市处于危险区内的时间为 ，选B.
点睛：圆的弦长问题，
处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
二、多选题
9．直线的方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】首先求直线的斜率，写出其中一个方向向量为，再求与其共线的向量，即可求解.
【详解】由题意可知，直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，
并且和向量平行的向量为，当时，向量为.
故选：BD
10．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
【分析】对于，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.
【详解】对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，
则，所以，即，故正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选：AC．
11．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程求得，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
12．（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（ ）
A．平面PACB．平面EFC
C．点F到直线CD的距离为D．点A到平面EFC的距离为
【答案】AD
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面EFC的法向量，利用向量垂直条件及线面垂直的判定定理及线面平行的向量关系，结合点到直线的距离及点到面的距离的向量公式即可求解.
【详解】解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空直角坐标系，如图所示
由题意可知，，，，，，，
所以，，，.
因为，所以，即
，所以，即.又，
所以平面PAC，故A正确；
设平面EFC的法向量为，则
，即，令，则，所以.
因为，所以，故B不正确；
设点F到直线CD的距离为h，，，则，即，所以点F到直线CD的距离为，故C不正确；
设点A到平面EFC的距离为d，，则
，所以点A到平面EFC的距离为，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．经过点，且与直线平行的直线的方程是 .
【答案】
【分析】设所求方程为：，再将点代入求解.
【详解】解：设所求方程为：，
因为所求直线经过点，
所以，
故所求直线方程为：，
故答案为：
14．若方程表示圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据计算即可.
【详解】由题可知：
所以
故答案为：
15．已知，，若，，则的值是 .
【答案】或1
【分析】根据题意，由向量模的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果.
【详解】因为，，，，
所以，解得：或，
因此或.
故答案为：或1.
【点睛】本题主要考查由空间向量的模与数量积求参数的问题，属于基础题型.
16．已知椭圆C：的左、右顶点分别为, ，且以线段,为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于 的方程，再利用离心率的计算公式可得.
【详解】椭圆C：的左、右顶点分别为,,以线段,为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，
则有 ，即 ，可得 ，
椭圆的离心率为 .
故答案为：
四、解答题
17．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
18．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.
(1)分别用，，来表示向量，；
(2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算计算即可；
（2）利用空间向量的数量积运算律计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
；
（2）由（1）可知，
若，，是两两垂直的单位向量，则，
所以.
19．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)求△ABC的面积．
【答案】（1）x＋5y＋3＝0；（2）S△ABC＝3
【详解】试题分析：求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程，已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积.
试题解析：
(1)由斜率公式，得kBC＝5，
所以BC边上的高所在直线方程为y＋1＝－ (x－2)，即x＋5y＋3＝0.
(2)由两点间的距离公式，得|BC|＝ ，BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0，
所以点A到直线BC的距离d＝，
故S△ABC＝.
【点睛】已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积,还可求出三边长借助海伦公式去求；求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.
20．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，圆心在线段的垂直平分线上，故联立两直线方程，求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程；
（2）设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到切线方程.
【详解】（1）的中点为，，所以线段的垂直平分线方程为，
由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解，解之得
所以圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆的标准方程是．
（2）由题意斜率不存在时不满足，所以设切线方程为即
由已知得解得
所以切线方程为和
21．将沿它的中位线折起，使顶点到达点的位置，使得，得到如图所示的四棱锥，且，，为的中点．

(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需证明，；（2）的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求平面与平面的夹角.
【详解】（1）证明：因为为的中位线，
所以．
因为，所以，，
又，所以平面．
（2）由（1）因为平面，平面，
所以平面平面．取的中点，
连接，因为，所以．
又平面平面，所以平面，且．以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．
所以，．
设是平面的法向量，可得令，得，
易知为平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，则，
得所以平面与平面夹角的余弦值为．
22．已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的基本量的关系求解即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，设，，可得韦达定理，从而得到的中点坐标为，再根据垂直直线的斜率之积为-1列式求解即可
【详解】（1）依题意有解得，.
∴椭圆C的方程为.
（2）假设在线段的中垂线上，
联立消去y得.
设，，则，.
∴.
∴的中点坐标为.
∴，
∴，即，解得.
∴存在时，点在线段的中垂线上.