2023-2024学年山东省微山县第一中学高二上学期期中模拟数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省微山县第一中学高二上学期期中模拟数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算可得，再根据方向向量的定义即可得出结果.
【详解】因为，由共线向量可知与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，
又，所以是直线l的一个方向向量.
故选：B.
2．某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【详解】编号之和恰为,则需要3个球中个编号为,个编号为，
设个编号为的小球为ABC，个编号为的小球为ab，
则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有：共6种，
则编号之和恰为的概率为.
故选:D.
3．已知直线与直线，若，则（ ）
A．2或B．或5C．5D．
【答案】D
【分析】根据平行直线的判断方法求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
4．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为，
设，则，有，
得，
当时，.
故选：C.
5．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“两枚硬币朝上的面相同”，则A与B（ ）
A．是互斥事件也是相互独立事件B．不互斥但相互独立
C．是对立事件D．既不互斥也不相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件的概念判断.
【详解】分别抛掷两枚质地均匀的硬币，样本空间＝{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，
事件A＝{(正,正),(正,反)}，事件B＝{(正,正),(反,反)}，
显然A与B不互斥，也不是对立事件，故A，C错误；
∵，
∴，∴A与B相互独立，故B正确，D错误.
故选：B.
6．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】分截距不为0和截距为0两种情况，利用待定系数法求解.
【详解】当截距不为0时，设方程为，将代入，
可得，解得，
故直线方程为，即；
当截距不为0时，设方程为，将代入，
，解得，故直线方程为，即，
故直线方程为或.
故选：B
7．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
8．若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
二、多选题
9．若直线向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆相切，则的值为（ ）
A．14B．12C．D．
【答案】AD
【分析】首先求得直线平移之后的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，得到关于的方程，从而得解.
【详解】将直线，即向右平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，
平移后的直线方程为，即.
由直线与圆相切，而圆心为，半径为，
得，即，
所以或.
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个随机事件，且，则
B．若，则事件与事件相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
【答案】BD
【分析】由互斥事件可判断A；由相互独立事件可判断B；由对立事件可判断C；由古典概率可判断D.
【详解】对于A，是两个随机事件，且，
当互斥时，则，故A错误；
对于B，若，则，
，所以事件与事件相互独立，故B正确；
对于C，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C错误；
对于D，从中任取2个不同的数，可能的情况有：，
取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：，
所以其概率为：，故D正确.
故选：BD.
11．垂直于直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】CD
【分析】先设出垂直直线，再根据和坐标轴围成的面积求出参数，最后求出截距.
【详解】因为直线垂直于直线，可令直线，
所以直线与轴交点为，与轴交点为，
所以与两坐标轴围成的三角形的面积为，
所以，所以在轴上的截距为，
故选：CD
12．如图，在多面体中， 平面，四边形是正方形，且分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是( )

A．存在点Q，使得
B．存在点Q，使得异面直线与所成的角为
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点Q自D向C处运动时，二面角的平面角先变小后变大
【答案】AD
【分析】以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定m是否有解，从而知正误；利用，设，可求得的最大值，由此可求得体积的最大值，知C错误；利用向量法求二面角余弦关于参数m的表达式，结合二次函数、余弦函数的性质判断二面角的变化情况，判断D．
【详解】以A为坐标原点，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，
，
对于A，假设存在点，使得，
则，又，
∴，解得，
即点Q与D重合时，，A正确；
对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
∵，，
∴，方程无解，
∴不存在点Q，使得异面直线与所成的角为，B错误；
对于C，连接，设，
∵，

∴当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，
又点N到平面AMQ的距离，
∴，C错误；
对于D，由上分析知：，，
若是平面的法向量，则，
令，则，
而平面的法向量，
所以，令，
则，而，
由Q从D到C的过程，m由小变大，则t由大变小，即由小变大，
所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，
故二面角先变小后变大，D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是 .
【答案】-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
14．已知一动点M到点A(-4，0)的距离是它到点B(2，0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是 .
【答案】x2+y2-8x=0
【分析】由题意可得|MA|=2|MB|，设M的坐标为(x，y)，代入两点间距离公式，化简整理，即可得结果.
【详解】设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|=2|MB|，即=2，
整理得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
故答案为：x2+y2-8x=0.
【点睛】本题考查求圆的轨迹问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
15．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得．
【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线，
曲线，即，
表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点
在同一坐标系内作出直线与半圆)，如图，

当直线与半圆C相切时，得，且，
解得，又，
所以或，所以或．
故答案为：．
16．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则，
则，
设与异面直线和都垂直的向量为，
则，令，则，
又，故异面直线和间的距离是，
故答案为：
四、问答题
17．已知的顶点分别为，，．
(1)求边上的中线及其垂直平分线所在直线的方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）求出边上的中点与垂直于的直线的斜率，再利用直线的两点式与点斜式即可得解；
（2）根据两点间距离公式求得，再利用两点式与点线距离公式求得点到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为，，，
所以边上的中点为，，
所以边上的中线所在直线的方程为，整理得，
而边上的垂直平分线所在直线的斜率为，
故其直线方程为，即.
（2）由题意可得，
而直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为.
五、解答题
18．已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据已知条件确定圆心、半径，写出圆的方程即可；
（2）由题意知，易知点M落在以EP为直径且在圆E内部的一段圆弧，再写出轨迹方程，注意范围.
【详解】（1）由直线方程知：，故直线恒过点，
因为圆E恒被直线平分，所以圆E的圆心为，
因为在圆上，故圆的半径，
综上，圆E的方程为：；
（2）
因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为、，以EP为直径的圆的方程为，
由，
所以M的轨迹方程为：，.
六、问答题
19．盒子中有个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，从中有放回地任意抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球的编号和大于的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列举出所有基本事件即可得到样本空间；
（2）确定所有满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】（1）从编号为的四个球中，有放回的任意抽取两球，将抽取的结果记为，
则样本空间.
（2）由（1）知：基本事件总数为个，
其中抽到的两个球的编号大于的基本事件有：，共个，
抽到的两个球的编号大于的概率.
七、解答题
20．已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果.
【详解】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.

21．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
22．如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：取的中点，利用中位线性质证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质可得，由线面平行判定定理即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量为，平面的法向量为，由法向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）方法一：取的中点，连接，如图（1）所示：
因为分别是的中点，
在中，,,
因为底面是正方形，为的中点
所以，
所以且，四边形是平行四边形，
所以，又因为平面平面；
所以平面.
方法二：因为底面是正方形，底面，所以两两垂直，
以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：
由条件可知；
平面的一个法向量是；
，所以；
因为平面，所以平面
（2）因为底面是正方形，底面，
所以两两垂直，以为原点，
方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：
设二面角的平面角为，平面的法向量为，
由条件可知；
，取，则，平面的法向量为；
平面的一个法向量为；
；
因为为锐角，故，
所以二面角的余弦值为.