2023-2024学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市永寿县中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，则 （ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.
【详解】因为，，
故选：D
2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标为，半径为，即可求出结果.
【详解】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为.
故选：A.
3．已知点，点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由斜率公式可得，因此，.
故选：B.
4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据焦点在x轴上的椭圆满足的条件列式求解即可.
【详解】由表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得.
故选：B
5．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．
C．或D．1或
【答案】C
【分析】若直线∥直线，则，代入数值计算即可.
【详解】直线与直线平行，
,或.
故答案为：或
6．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ）
A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h
【答案】B
【详解】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线被圆 截得弦长为 ，所以B城市处于危险区内的时间为 ，选B.
点睛：圆的弦长问题，
处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
7．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
8．在正方体中，E，F分别为棱，棱的中点，则以下说法正确的是（）
A．平面DEFB．平面CEF
C．平面⊥平面DEFD．平面⊥平面DEF
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具逐项判断即可
【详解】
不妨设正方体棱长为2,如图,建立空间直角坐标系,则
,
设平面DEF的法向量，
令a=2,b=2，则c=-3，易得平面DEF的法向量
,因为与不平行,所以与平面DEF不垂直,故错
,
设平面CEF的法向量，
令x=2,y=2，则z=-1，易得平面CEF的法向量
因为,所以与平面CEF不平行,故B错.
因为,所以
又平面平面
所以平面,即平面，
又平面DEF,所以平面平面DEF,故正确
，则为平面的一个法向量
,所以平面与平面DEF不垂直,故D错误
故选：C
二、多选题
9．已知椭圆C：，则下列关于椭圆C的说法正确的是（ ）
A．离心率为
B．焦点为
C．长轴长是3
D．椭圆上的点的横坐标的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据椭圆的几何性质即可判断选项正误.
【详解】由椭圆方程，可知，，所以，
所以，故A错误；
由方程可知，焦点在x轴上，故焦点坐标为，故B正确；
长轴长为，故C错误；
因焦点在x轴上，所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是，即为，故D正确.
故选：BD
10．直线a的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线a与平面所成角的大小为
D．若，则平面的相交所成的锐角为
【答案】BCD
【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论.
【详解】若，则直线平面或在平面内，故选项A不正确；
若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项B正确；
直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，
所以若，则直线a与平面所成角的大小为，故选项C正确；
两个平面夹角与他们法向量所成的不大于的角相等，故选项D正确，
故选：BCD
11．已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由求出的值可得直线过的定点，对于D，当时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.
【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC．
12．已知直线，圆，则下列选项正确的为（）
A．圆心E到直线l的距离的最大值为5
B．圆E和直线l相交，所得的弦的长度取最小值时，l的方程为
C．圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大值为9
D．圆E被直线l分成两段圆弧，当大小两段圆弧的长度之比为3∶1时，直线l的方程为或
【答案】BD
【分析】选项A与B，直线恒过定点，当时，圆心E到直线l的距离最大且此时弦长最短；选项C，弦的长度最大时是圆的直径；选项D，根据劣弧所对的圆心角为，可以求出圆心E到直线l的距离，再根据距离公式求得.
【详解】由已知直线，则，直线恒过定点.
由圆，则，圆心，半径.
选项A，如图1，当时，即如图位置时，圆心E到直线l的距离，此时最大，最大值为，故A错误；
选项B，如图1，当时，圆心E到直线l的距离的最大，此时弦的长度取最小值，
l的斜率，直线l的方程为即,故B正确；
选项C，圆E和直线l相交，所得的弦的长度的最大时是圆的直径，，故C错误；
选项D，如图2，圆E被直线l分成两段圆弧，大小两段圆弧的长度之比为3∶1，劣弧所对的圆心角为，又，所以圆心E到直线l的距离，整理得，解得或
所以直线l的方程为或，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知直线，则与之间的距离是 .
【答案】/0.8
【分析】由两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】因为，
所以两直线平行，
所以与之间的距离.
故答案为：
14．圆M：与圆N：的位置关系是 .
【答案】内切
【分析】求出圆的圆心和半径，再判断两圆位置关系即可.
【详解】圆M：的圆心，半径，圆N：的圆心，半径，
显然，所以圆与圆相内切.
故答案为：内切
15．已知实数，满足方程，则的最大值为 .
【答案】
【分析】计算圆心到，然后加上半径长度即可.
【详解】由，所以，圆心为，
圆心到的距离为2，所以圆上的点到的最大距离为，
所以的最大值为
故答案为：
16．、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由条件可得，设 则，根据余弦定理可求出，进而求出三角形面积.
【详解】由，知，.所以，所以，
设 则，
.因为∠AF1F2 = 45°，所以，解得 ，
所以，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的焦点三角形中的面积计算，常需考虑椭圆的定义和余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等相关三角形的知识.
四、解答题
17．已知空间向量.
(1)求；
(2)若向量与垂直，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
【详解】（1），所以
（2），，
由向量与垂直，则 ，
则，
解得：.
18．在中，已知.
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)求边上的高所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可求出两点的中点，从而由两点求出边上中线所在直线方程；
（2）由两点斜率求出高所在直线斜率，利用点斜式从而求解.
【详解】（1）由题意知，所以线段中点坐标为，
所以可得边上中线所在的直线斜率，
所以可得直线方程为：，即；
故所求直线方程为：.
（2）由题意知所在直线斜率，
所以可得边上的高所在的直线斜率，
所以可得直线方程为：，即.
故所求直线方程为：.
19．已知圆心为的圆经过.两点，且圆心在直线上
(1)求的标准方程；
(2)过点作的切线，求切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心，根据，可得，解得的值，可得圆心的坐标和半径CA，从而得到圆C的方程．
（2）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时由点斜式设出直线方程，圆心到切线的距离等于半径，得到方程，注意斜率不存在的情况．
【详解】（1）∵圆心C在直线上，设圆心，
∵圆C经过点， ∴
∴，解得,
∴圆心C(−3,−2)，半径，∴圆C的方程为
（2）若直线的斜率存在时，设所求的切线方程的斜率为，
则切线方程为，即，
又圆心到切线的距离
又由，即，解得
∴所求的切线方程为
或
若直线的斜率不存在时，即不满足要求.
∴综上所述，所求的切线方程为
或
五、未知
20．如图，在直三棱柱中，.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）在直三棱柱中，，显然两两垂直，
以为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
，，
设异面直线与的所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面的所成角为，则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹交于两点，求的最小值及取得最小值时的方程.
【答案】(1)
(2)的最小值为，的方程为.
【分析】（1）设出M和A点的坐标，由中点坐标公式得到两点坐标的关系，把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后整理得答案．
（2）由直线系方程可得定点，当半径与直线垂直时弦长最短，求解即可.
【详解】（1）设线段的中点为，点，有
由，有，，
得，，则有，化简得，
所以线段的中点的轨迹方程为.
（2）直线，
化简得，由，解得，
直线过定点，
圆的圆心为，半径，
，点在圆内，直线与圆总相交，
最小时，直线垂直于过点为半径，
，
，，直线的方程为，即，
所以的最小值为，此时的方程为.
六、解答题
22．已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程．
(2)若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，利用离心率公式可求得的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，对、两种情况讨论，在时直接验证；在时，求出线段的中点的坐标，利用结合可求得的取值范围.综合可得出结果.
【详解】（1）解：由题意可知，点到直线的距离为，解得，
又因为，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
（2）解：易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
若，则轴，此时、关于轴对称，则；
若，则，，
所以，线段的中点为，
则，所以，，
所以， ，解得且.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.