2023-2024学年四川省眉山市青神县青神中学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省眉山市青神县青神中学校高二上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对称即可求解.
【详解】点关于平面的对称点为点B,
故选：B
2．从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治
【答案】D
【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.
故选:D.
3．已知，，且，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】代入空间向量垂直的坐标表示，直接求x的值.
【详解】∵，∴，解得：.
故选：A.
4．过点且垂直于的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设所求直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解.
【详解】设过点且垂直于的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
所以所求直线方程为.
故选：D.
5．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件，，，，.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）

A．，两个盒子串联后畅通的概率为
B．，两个盒子并联后畅通的概率为
C．，，三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
【答案】D
【分析】串联电路中，同时畅通电路才畅通；并联电路中，同时断电才断电；故利用对立事件，相互独立事件同时发生的概率判断选项．
【详解】对于A：，两个盒子串联后畅通的概率为，故A错误．
对于B：，两个盒子并联后畅通的概率为，故B错误．
对于C，，两个盒子串联后不畅通的概率为，
所以，，三个盒子混联后畅通的概率为，故C错误；
对于D：当开关合上时，整个电路畅通的概率为，故D正确．
故选：D．
6．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程．
【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故选：C

7．直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线l：与连接，的线段相交，可得，在直线的l：的两侧或在直线上，可得，求解即可.
【详解】由直线l：与连接，的线段相交，
可得，在直线的l：的两侧或在直线上，
可得，即，
可得，
则实数的取值范围为或.
故选：D.
8．已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案.
【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则，
故，
设，
则；
设为与都垂直的向量，
则，令，则，
因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度，
故点P到直线的距离的最小值为，
故选：A
二、多选题
9．已知空间中三点、、，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】CD
【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB，由空间向量夹角坐标公式，即可判断C，由平面法向量的计算公式，即可判断D.
【详解】对于A选项，，，因为，则、不共线，A错；
对于B选项，与同向的单位向量为，B错；
对于C选项，，，
所以，与夹角的余弦值是，C对；
对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，，所以，平面的一个法向量为，D对.
故选：CD.
10．若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】BCD
【分析】讨论、、三条直线交于一点得出的可能取值.
【详解】若，则解得．
若，则解得．
由解得即与的交点坐标为，
若过点，则，解得．
故选：BCD．
11．已知点，直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．直线恒过点
B．若直线与线段有交点，则
C．点到直线的距离的最大值为
D．若为直线上一点，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A，把直线的方程整理为，得出所过定点；对于B，先求出，结合图象得出结果；对于C，当直线时，点到直线的距离最大；对于D，求出关于直线的对称点的坐标，.
【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A错误．
对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B正确．
对于C，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故C正确．
对于D，如下图，当时，直线的方程为．
设关于直线的对称点为，则解得，
所以，所以，故D正确．
故选：BCD.

12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
三、填空题
13．已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则 ．
【答案】0.9/
【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解
【详解】由题意得，则．
故答案为：0.9
14．点关于直线：的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】设Q的坐标，由题意可得直线l为线段PQ的中垂线，可得点的坐标．
【详解】设是点关于直线：的对称点，
由题意可得，解得，，可得.
故答案为：.
15．已知，若向量共面，则 ．
【答案】3
【详解】试题分析：由于三个向量共面，所以存在实数，使得，即有，解得.
【解析】空间向量的正交分解及其坐标表示.
16．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ．
【答案】①②③
【详解】其中①③的讨论见后文．
②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为．
综上，①②③正确．
四、解答题
17．已知直线，直线．
(1)若，求实数a的值．
(2)判断与是否可能垂直，若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先根据直线平行条件求a，然后验证即可；
（2）根据直线垂直条件列方程，然后利用判别式判断可得.
【详解】（1）若，则，
整理得，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，，重合．
故．
（2）若，则，
整理得，因为，
所以方程无解，故与不可能垂直．
18．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）
【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
19．如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且.
求：（1）的长；
（2）直线与AC所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用基底表示向量，再利用数量积求模；（2）转化为利用向量数量积求直线夹角的余弦值.
【详解】，
所以

，
所以

，
，
，
所以直线与AC所成角的余弦值为.
20．设直线l的方程为
(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值．
【答案】(1)当不论a为何值，直线恒过定点；
(2)直线l的方程为或.
(3)6
【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解；
（2）分截距是否为0两种情况，求得参数，即可得答案.
（3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）直线l的方程为，
整理可得：，
当时不论a为何值，，
即，，
可证当不论a为何值，直线恒过定点；
（2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，
此时直线方程为.
当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，
故，解得，
可得直线l的方程为：.
综上所述，直线l的方程为或.
（3）由题意知，
令，解得，解得；
令，解得，解得或.
综上有.
∴
，
当且仅当，即时取等号.
∴（为坐标原点）面积的最小值是6，
此时直线方程，即.
21．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为．
若________________，求直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案；
（2）联立直线方程，求得点的坐标，分别利用角平分线的对称或中线的对称，可得答案.
【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；
（2）若选①，角的平分线所在直线方程为，
由，解得，所以点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
又点在直线上，所以的斜率，
所以直线的方程为，即．
若选②：边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，
所以，即，又点在直线上，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；
(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且，
所以，
因为，且四边形ABCD为正方形，故，
所以，而平面，
故平面；
（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为，
设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面，
连接平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故,
平面，故平面，
故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则，
又，故，
设到底面的距离为h，
四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，则，
，，
设，
设平面的一个法向量为，
则，令，
设平面的一个法向量为，
则，令，
故，
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围.