2022-2023学年江西省南昌市第三中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省南昌市第三中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，求得，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线，可得直线的斜率为，即，
因为，所以.
故选：A.
2．双曲线C：的一条渐近线方程为x+2y=0，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程、离心率公式，结合双曲线中的关系进行求解即可.
【详解】双曲线C：的一条渐近线方程为x+2y=0，即，
因此有，
故选：A
3．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.
【详解】设圆的方程为，
因为圆心在x轴上，所以，即．
又圆经过点和，
所以即解得
故所求圆的一般方程为．
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求圆标准方程，属于基础题.
4．直线与直线相交，则实数k的值为（ ）
A．或B．或
C．且D．且
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.
【详解】由题意，，
解得且，
所以实数k的值为且.
故选：D.
5．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm

A．30B．10C．20D．
【答案】C
【分析】大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，据此即可求解．
【详解】在大椭圆中，，，则，．
∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，，
结合，得，∴小椭圆的长轴长为20．
故选：C
6．与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
7．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义及题设，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化简即可得解.
【详解】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
8．设圆C1：x2+y2﹣10x+4y+25＝0与圆C2：x2+y2﹣14x+2y+25＝0，点A，B分别是C1，C2上的动点，M为直线y＝x上的动点，则|MA|+|MB|的最小值为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【答案】B
【解析】根据圆的方程可以求出圆心和半径，所以|MA|+|MB|，即只需求的最小值，根据平面对称知识即可求出．
【详解】圆C1：x2+y2﹣10x+4y+25＝0即，所以圆心，半径为2，
圆C2：x2+y2﹣14x+2y+25＝0即，所以圆心，半径为5，
由圆的几何性质可知，|MA|+|MB|，
即求出的最小值可得|MA|+|MB|的最小值．
因为点关于直线y＝x的对称点为，所以当共线时，
的最小值为．
故|MA|+|MB|的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的方程和几何性质的应用，以及平面对称知识的应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
二、多选题
9．若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.
【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；
B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；
C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；
D：不在上，不符合.
故选：ABC
10．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆外B．圆的半径为
C．圆关于对称D．直线截圆的弦长为3
【答案】BC
【分析】由圆的方程求圆心和半径，判断B，C，再根据点与圆的位置关系判断A，由直线与圆的相交弦公式判断D.
【详解】∵圆的方程为，
∴ 圆心M为，半径为，B对，
∵ 圆心M在直线上，
∴圆关于对称，C对，
∵ 时
∴点在圆内，A错，
∵ 圆心到直线的距离为，
∴ 直线截圆的弦长为，D错，
故选：BC.
11．已知曲线C： ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则C是圆
B．若，且，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为
D．若，则C是椭圆，其离心率为
【答案】BC
【分析】对于A：取特值，则，代入原方程可判断；
对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断；
对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；
对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.
【详解】解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确；
对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；
对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；
对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确，
故选：BC.
12．已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由题意画出图形，由椭圆定义及三角形两边之和大于第三边判断；设出的参数坐标，利用向量数量积运算判断；求出三角形的面积范围，结合已知列式求得椭圆离心率的范围判断；由数量积及三角形面积公式求得判断．
【详解】如图，
连接，，设交椭圆于，则，
，故正确；
设，，，
，，
，故错误；
设，，则，
又△的面积为，，即，
，又，，故正确；
由，，
两式作商可得：，故正确．
故选：ACD
三、填空题
13．抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.
【详解】抛物线的准线方程是.
【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.
14．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是 .
【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞)
【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可.
【详解】如图示：

当直线l过点时设直线l斜率为，
则，
当直线l过点时设直线l斜率为，
则，
要使直线l 与线段有公共点,
则直线l斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)，
故答案为：(－∞，－]∪[1，＋∞).
【点睛】本题考查了两点求直线的斜率，考查了数形结合的思想，属于基础题.
15．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【分析】连接，，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接，，
由条件可得，
则，，，
所以，
即，
即，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为.
16．已知圆C：，点，在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】假设存在这样的点，，使得为常数，由条件求出点的轨迹方程，联立轨迹方程和圆方程结合已知可得对恒成立，由此可求点B的坐标.
【详解】假设存在这样的点，，使得为常数，则，
设点的坐标为，则，
将代入，得，
即对恒成立，
所以，解得或 (舍去)．
故答案为：.
四、问答题
17．已知直线，试求：
(1)与直线的距离为的直线的方程；
(2)点关于直线的对称点的坐标．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设所求直线的方程为，根据平行直线间的距离公式列出方程求解即可；
（2）设对称点，利用垂直时斜率关系以及的中点在直线上列出方程组求解即可.
【详解】（1）设所求直线的方程为，
由题意，得，解得或，
所以所求直线的方程为或.
（2）设点关于直线的对称点为，
已知直线的斜率为，且的中点在直线上，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为.
五、解答题
18．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分焦点在轴，设出双曲线方程，利用待定系数法带入点求解；
（2）根据相同焦点设出所求方程，代入点求解.
【详解】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为，
把点A的坐标代入，可得，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为，
把A点的坐标代入，可得，
故所求双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为，
因为双曲线过点，
所以，解得或 (舍去).
所以双曲线的标准方程为.
19．已知圆，直线.
（1）若直线被圆截得的弦长为，求的方程；
（2）若直线与圆交于两点，求的中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出圆心和半径，由弦长、圆心距和半径的关系求出圆心距的值，再利用点到直线的距离公式列方程可求出的值，从而可求出直线的方程；
（2）设，直线过定点，由题意可知，，从而可得，即，再检验即可得的中点的轨迹方程
【详解】解：（1）可化为，
则圆心，半径，
∵被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，
∴点到直线的距离，
解得，此时直线的方程为；
（2）设，直线过定点，
由题意可知，，
∴，即，
化简可得，，即，
经检验，与，圆心距为，
可知两圆内含，则上的所有点都在圆的内部，
所以中点的轨迹方程为.
20．已知．
(1)若直线l过点P，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
(2)是否存在直线l，使得直线l过点P，且原点到直线l的距离为6？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程；
（2）方法一：求出直线l过点P，且原点到直线l的最大距离，进行判断；
方法二：先求出当直线的斜率不存在时，原点到直线l的距离，再求出当直线l的斜率存在时，得到相应的方程，由根的判别式进行判断.
【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的方程为，
即．
根据题意，得，解得：，
所以直线的方程为．
故直线的方程为或．
（2）（2）方法一：不存在．理由如下：
若直线过点，则当原点到直线的距离最大时，直线与垂直，
此时最大距离为，
而，故不存在这样的直线．
方法二：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知原点到直线的距离为2，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则原点到直线的距离为，
令，整理得，
则，方程无解，
所以没有符合题意的直线．
综上，不存在符合题意的直线．
21．已知椭圆：()的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.过椭圆右焦点作直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题目所给四边形的面积得到，结合点在椭圆上列方程，由此求得，从而求得椭圆的方程.
（2）当直线无斜率时，求得的坐标，判断出不成立. 当直线有斜率时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立并写出根与系数关系，结合列方程，解方程求得的值，由此求得直线的方程.
【详解】（1）四边形的面积为，∴，
又点在：上，则，
∴，，∴椭圆的方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点，
①当直线无斜率时，直线的方程为，
则、，不成立，舍，
②当直线有斜率时，设直线方程为将，
代入椭圆方程，整理得，在椭圆内，恒成立，
设、，则，，
又，
，
即，解得，
则直线的方程为：.
【点睛】求解有关直线和圆锥曲线的位置关系的问题，根与系数关系是解题的关键.
六、证明题
22．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.
（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.
【详解】（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得，，设点，，则，，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，
所以．
（2）由（1）得，，，，
于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，
由消去y并整理得：，而，
因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.
所以线MN与直线CD交点在定直线上.
【点睛】方法点睛：涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；
若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.