2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期中练习数学试题（B）含答案

这是一份2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期中练习数学试题（B）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.
【详解】直线的斜率为，
设其倾斜角为，则，
又，故其倾斜角为.
故选：B
2．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量的共线定理即可求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
可得，解得，
所以.
故选：C.
3．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点在坐标平面内的射影坐标运算即可得解.
【详解】解：∵点是点在坐标平面内的射影，
∴点的坐标为，
故选：A.
4．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把两直线的垂直关系转化为斜率的关系即可判断.
【详解】已知直线的斜率
所以垂直直线的斜率为
而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为，
故选：D.
5．圆截轴所得弦的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的弦长公式：，其中为圆心到弦所在直线的距离，计算可求弦长.
【详解】解：由圆的方程可知，圆心为，半径为，圆心到轴的距离为，
则.
故选：B
6．若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】联立两直线方程求出交点，即可根据第二象限的特征求解.
【详解】,
所以交点为,由于在第二象限，所以，
所以的取值范围为，
故选：D
7．如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减运算，结合空间向量的基本定理即可求得答案.
【详解】由题意得
,
结合可得，
故，
故选：C
8．已知直线：，：，若 ，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】若：，：，当时，，代入后需验证，排除两直线重合的情况.
【详解】因为，所以，
即：，，解得：或，
当时，：，：，符合题意；
当时，：，即：，
：，此时与重合，舍去.
故选：A
9．已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论.
【详解】对于A，，所以，故点不在平面内，故A错误；
对于B，，所以，故点在平面内，故B正确；
对于C，，所以，故点不在平面内，故C错误；
对于D，，所以，故点不在平面内，故D错误.
故选：B.
10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，然后由向量的数量积公式分别求出，结合向量的夹角运算公式，即可求解.
【详解】如图所示：
由题意，可得，，
又由正八面体的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，
在中，由，可得，所以，所以
；
；
；
所以，
即直线和夹角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角，所以只需把分解，然后由向量的夹角公式即可求解.
二、填空题
11．以为圆心，半径为2的圆的标准方程为 .
【答案】.
【分析】根据圆心及坐标即得.
【详解】由题可得圆的标准方程为.
故答案为：.
12．已知点，，，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示法结合向量的减法运算即可求解
【详解】根据已知可得：，，
因此可得：.
故答案为：
13．已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可得出直线的斜率.
【详解】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
14．已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.
【详解】由直线方程，则该直线过定点，
易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，
由圆的方程，则其圆心为，半径为，
点到圆上点的最大距离为.
故答案为：.
15．在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论：
①；
②；
③若为中点，则点到直线的距离为；
④存在点，使得平面．
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②④
【分析】根据空间向量基本定理即可判断①；以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断②③④.
【详解】对于①，，
而，
所以，故①错误；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
故，
所以，所以，故②正确；
若平面，
又平面，所以，
，则，
则，解得，
所以存在点，使得，
又平面，
所以当时，平面，
所以存在点，使得平面，故④正确；
对于③，若为中点，则，
故，
则，所以，
所以点到直线的距离为为，故③错误.
故答案为：②④.
三、问答题
16．在中，，，.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点之间的斜率公式求出斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可；
（2）利用中点坐标公式和斜率公式结合直线的点斜式方程求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以边所在直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以边所在直线的方程为：，
即．
（2）设边上的中点为，则直线即为边上的中线．
因为，，
所以，又因为
所以直线的斜率．
又因为该直线过点，
所以直线的方程为：，
即．
17．已知向量，， .
(1)若，求实数的值；
(2)求；
(3)若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可.
（2）模长公式的坐标运算即可.
（3）利用空间共面向量定理即可.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
四、证明题
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点.
(1)求证：//平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求角即可.
【详解】（1）
证明：在底面中，连接交于点，可得为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）选①：平面平面．
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，，
又底面是正方形，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
选②：．
因为，，又底面是正方形
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，．于是．
又因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，则
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
五、问答题
19．已知圆：.
(1)求圆的圆心坐标以及半径；
(2)求经过点的圆的切线方程；
(3)若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)圆心的坐标为，半径
(2)或
(3)
【分析】（1）将圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解；
（2）讨论切线的斜率不存在和存在的两种情况求切线方程；
（3）由题意转化圆心距和半径的关系式，再转化为不等式求实数的取值范围.
【详解】（1）因为圆：，整理得
所以圆心的坐标为，半径．
（2）①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意；
②当切线斜率存在时，设：，
即.
设圆心到切线的距离为，则．
整理可得：，
解得：
所以切线的方程为，即.
综合①②，切线的方程为或.
（3）圆与圆的圆心距为，
设圆的半径为，圆的半径为，
若圆与圆：有公共点，
则，即，
解得，
故．
六、应用题
20．赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【答案】(1)
(2)可以从桥下通过，理由见解析
【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案；
（2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案.
【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即．
（2）当时，，
得
所以该景区游船可以从桥下通过．
七、问答题
21．如图，在直三棱柱中，，，．，分别为棱，的中点，与交于点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求直线到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由直三棱柱的性质以及可证明两两相互垂直，以为原点建立空间直角坐标系，空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值.
（2）利用线面平行的判定定理可证明平面，从而直线到平面的距离等于点到平面的距离，空间向量法计算点到平面的距离即可.
（3）假设存在点，可设，计算向量，由（2）可知平面的法向量，利用空间向量法计算向量求解，可得出结果.
【详解】（1）解：在直三棱柱中，
底面，所以，
又因为，
所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则 即
令，则，．于是．
所以．
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（2）在侧面中，连接交于点，可知为中点，连接．
因为是的中位线，
所以，又因为平面,平面,
所以平面．
所以直线到平面的距离等于点到平面的距离．
又因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
（3）线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面，证明如下：
设，
因为，，所以，所以
．
由（1）知平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
解得：，
所以线段上存在点，点为上靠近点的三等分点，满足平面．
【点睛】结论点睛：
（1）若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则；
（2）平面的法向量为，平面外一点，在平面内找一点，连接，则点到平面的距离为：；
（3）若直线的方向向量为，平面的法向量为，若平面，则.