2023-2024学年广东省博罗县高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省博罗县高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，未知，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线l过点和点，则直线l的倾斜角大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求斜率，进而可得倾斜角.
【详解】由题意可得：直线l的，
设直线l的倾斜角为，则，所以.
故选：D.
2．若，，，则的值为（ ）
A．B．5C．7D．36
【答案】B
【分析】由加法的坐标运算求出的坐标，再由数量积的坐标运算求出结论．
【详解】，.
故选：B．
【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
3．一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出3人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解即可．
【详解】设1名女生为，2名男生分别为，，
则任意选出2名同学，共有：，，，3个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有，，2个基本事件，
所以其概率为．
故选：D．
4．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合点到直线距离公式，求出圆的半径，即可得出结果.
【详解】由题意知，圆的半径，故所求圆的方程为.
故选C
【点睛】本题主要考查求圆的方程，根据题意求出半径，即可求解，属于基础题型.
5．直线与直线互相平行，则实数
A．B．4C．D．2
【答案】D
【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等或者斜率都不存在的性质求解.
【详解】当时，，，此时，不满足条件，
当时，应满足，解得，
综上，.
故选：D.
【点睛】本题考查含有参数的两条直线平行的参数的求法，判断斜率相等或者斜率都不存在是关键.
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据空间向量基本定理，用表示出即可.
【详解】由题意，因为为与的交点，所以也为与的中点，
因此
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由基底表示空间向量，熟记空间向量基本定理即可，属于常考题型.
7．手机支付已经成为人们常用的付费方式，某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下，
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求相应的频率，用频率估计概率.
【详解】由题意可知：该顾客年龄在内且未使用手机支付的频率为，
用频率估计概率，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：C.
8．已知圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即可得出结果.
【详解】解：由题意可知，圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
要使得取最大值，需的值最大，的值最小.
其中的最大值为,的最小值为
则的最大值为
点关于轴的对称点，
，
所以的最大值为.
故选：C.
二、多选题
9．已知两圆，直线，则（ ）
A．圆的面积为B．圆的圆心为
C．圆与直线相切D．圆与圆外切
【答案】AD
【分析】由圆的一般方程写出圆的圆心与半径，运用几何法比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系，比较两圆心距与两圆的半径之和、半径之差的绝对值的大小来判断圆与圆的位置关系.
【详解】解：对于选项A，由题意得，圆的半径为3，所以圆的面积为，故选项A正确；
对于选项B，∵圆：，即：，
∴圆的圆心为，半径，故选项B错误；
对于选项C，由题得，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线l的距离为：，则 ，所以圆与直线相交，故选项C错误；
对于选项D，由题得，，所以圆与圆外切，故选项D正确.
故选：AD.
10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；
B选项，根据向量平行列出方程组，求出；
C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；
D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.
【详解】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
11．以下结论正确的是（ ）
A．“事件，互斥"是“事件，对立”的充分不必要条件.
B．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与相互独立
C．假设，，且与相互独立，则
D．若，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立
【答案】BD
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断A，根据相互独立事件的概念判断B，根据和事件的概率公式判断C，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式判断D.
【详解】对于A：由事件，互斥得不到事件，对立，故充分性不成立，
由事件，对立一定可以得到事件，互斥，故必要性成立，
所以“事件，互斥"是“事件，对立”的必要不充分条件，故A错误；
对于B：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，
因为是掷两枚质地均匀的骰子，事件，可以同时出现，因此二者不互斥，不对立，
事件的发生与否不影响事件的发生，故这两事件相互独立，故B正确；
对于C：因为，且与相互独立，
所以，故C错误；
对于D：因为，，
若事件、相互独立，则，所以事件、不互斥，
若事件、互斥，则，又，
所以，则事件、不相互独立，
即，，则事件，相互独立与事件，互斥不能同时成立，故D正确.
故选：BD
12．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项．
【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，
能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，
．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知直线恒过定点，恒过定点，则点与点的距离为 ．
【答案】5
【分析】先求得两点的坐标，进而求得.
【详解】对于：，所以；
对于：，所以；
所以.
故答案为：
14．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是 .

【答案】/
【分析】建立空间坐标系，利用向量垂直即可求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则,
所以,
故，
所以，故异面直线ON，AM所成的角为，
故答案为：

15．已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是 .（写出一个符合题意的整数值）
【答案】1(答案不唯一)
【分析】由题设知的轨迹为，根据圆心到距离得到到直线距离的范围，即可写出一个值.
【详解】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为2，
所以的轨迹为，
而到的距离为，即直线与圆相离，
所以M到直线的距离范围，
由，故1满足.
故答案为：1(答案不唯一)
16．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
【答案】
【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【详解】由题意，
在三棱锥中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：.
四、未知
17．已知的三个顶点，D为BC的中点.求：
(1)中线AD所在直线的方程；
(2)BC边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
（2）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
【详解】（1）BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.
（2）、，BC边斜率k，则BC边上的高线的斜率k＝，
所以BC边上的高线所在直线的方程为，即.
五、解答题
18．如图，在棱长为2的正方体中，如图、分别是，的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面平面．
（2）由，平面的法向量，利用向量法求出直线与所成角的正弦值．
【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
所以，则平面平面．
（2）设直线与平面所成角的为，
因为，平面的法向量，
所以．
直线与所成角的正弦值．
19．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切．
(1)求圆的标准方程;
(2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可；
（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.
【详解】（1）设圆M的标准方程为：
则圆心M到直线的距离为
由题意得，解得或舍去.
所以，所以圆M的方程为．
（2）设直线l的方程为
则圆心M到直线l的距离为
，因为，解得，
则直线的方程为．
六、未知
20．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，点E是PB的中点.
(1)证明：平面PAD;
(2)求点E到平面PAD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）连接，
因为分别是的中点，则，
且平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.
（2）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
且E是PB的中点，则，
可得，，，
设平面PAD的法向量，则，
令，则，可得，
所以点E到平面PAD的距离.
七、解答题
21．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【答案】(1)；
(2)小明更容易晋级复赛.
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
22．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且底面，点分别在棱、上·
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；
（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，，
于是，∴，即．
（2）由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．
设是平面的一个法向量，
则，取，得．
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时．
设，而，由此得点，，
∵PQ∥平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而．
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积．
顾客年龄（岁）
20岁以下
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1