2023-2024学年广东省揭阳市普宁市兴文中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市普宁市兴文中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．4B．2C．3D．1
【答案】A
【分析】根据可知，代入坐标公式即可求解．
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，所以x的值为4，
故选：A．
3．在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求斜率，再求倾斜角.
【详解】直线斜率，所以倾斜角为150°.
故选：C
4．两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
故选：B.
5．如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，则，又，即可求解
【详解】连接，因为为棱的中点，，，
所以，
所以，
故选：A
6．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．-D．
【答案】D
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱中，，，为的中点．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】利用两点式求分别与线段两端点所成直线的斜率，应用数形结合确定直线的斜率k的取值范围.
【详解】∵，，，
∴直线的斜率，直线的斜率，
∵直线与线段相交，如图所示，
∴直线的斜率的取值范围为或．

故选：B
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】如下图所示，设点关于直线的对称点为，
由题意可得，解得，即点，
在直线上取点，由对称性可得，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是2
B．直线经过第一、二、三象限
C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为
D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。
【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.
对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.
故选：BC
10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C．与夹角的余弦值是
D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）
【答案】BC
【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；
B选项直接计算法向量即可.
C选项通过夹角公式计算即可；
D选项由单位向量的求法进行判断；
【详解】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；
对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.
对C，，，C正确；
对D，方向相同的单位向量，即，D错误；
故选：BC
11．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆：与圆：恰有三条公切线
C．两圆与的公共弦所在的直线方程为
D．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】AB
【分析】利用求定点的方法即可判断A选项；判断两个圆的位置关系即可判断B选项；两圆方程联立作差可判断C选项；利用切线长可判断D选项.
【详解】令，则，解得，
所以直线过定点，所以A正确；
圆的圆心为半径，
圆的圆心为半径，
圆心距,所以，
所以圆与圆外切，则有3条公切线，
所以B正确；
两圆方程联立 ，
作差整理得，所以C错误；
设圆心到直线的距离为，半径,
则，所以，
根据切线长，
当取最小值时，有最小值，
所以,
所以D错误.
故选:AB.
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
【答案】ABD
【解析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
三、填空题
13．已知空间中非零向量，且，，，则
【答案】
【分析】将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
故答案为：.
14．已知直线与直线平行，则 .
【答案】
【分析】由两直线平行，可得，即可求解.
【详解】由得，，则，
故答案为：
15．已知的圆心在轴上，半径为1，且过点，，则与的公共弦长为 .
【答案】/
【分析】待定系数法求出圆的方程，然后两圆方程相减，消去二次项可得公共弦所在直线方程，利用可得.
【详解】根据题意设圆的方程为，则有，解得，所以圆的方程为，即①，
将圆化为一般方程得：②，
①-②得公共弦所在直线l的方程为：，
则圆心到直线l的距离，所以公共弦.
故答案为：
16．已知为圆上任意一点，则的最大值是 .
【答案】
【解析】由题意，表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.当过点的直线与圆相切时，取最值，即得最大值.
【详解】把圆化为标准式，
圆心，半径.
则表示圆上的点与圆外的点连线的斜率.
设过点的直线方程为，即.
当直线与圆相切时，斜率取最值.
由，解得或.
的最大值是.
故答案为：.
【点睛】本题考查斜率的几何意义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
四、解答题
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且
(1)求C;
(2)若c=，△ABC的面积为 求△ABC的周长.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值；
（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求出的周长.
【详解】（1）中，，
由正弦定理可得：，
即，
又，
，求得；
（2）由的面积为，
即，
由，利用余弦定理，可得，
即，
即的周长为．
18．直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．
（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．
【详解】（1）解：由，解得，
所以两直线和的交点为．
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
19．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．
(1)求证：平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．
【答案】(1)证明见详解.
(2).
【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.
（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.
【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则,
设面的一个法向量为，，
可得，即，不妨令则,
平面.
（2），则点到平面的距离为.
20．已知的三个顶点坐标分别是，，.求：
(1)外接圆的方程；
(2)若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，求线段MP的中点N的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用线段求中垂线方程以及两直线求交点，确定三角形外接圆的圆心坐标，进而求该圆的半径，可得答案.
（2）利用中点坐标公式，建立等量关系，代入（1）所得的外接圆的方程，可得答案.
【详解】（1）由题意可作图如下：

由，则线段的中点坐标为，
线段的中垂线的斜率，
直线的方程为：；
同理可得线段的中垂线的方程：，
联立可得，解得，则直线与的交点，
显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径，
所以外接圆的方程为：.
（2）由题意可作图如下：

设的坐标为，的坐标为，
由为的中点，且，则，整理可得，
由在圆上，则，
所以，化简可得：.
21．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)的最大值为.
【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行；
（2）应用向量法求二面角的大小即可；
（3）设，其中，进而得到，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值．
【详解】（1）法一：设，连结，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面；
法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，
设面的法向量为，则由，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
则，又平面，所以，从而面.
（2）若，则，，面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，因为为锐角，所以，
所以二面角的大小为.
（3）因为点在线段上，而，
设，其中，则，从而，
于是，而，
由知，即，
所以，解得，故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.
22．已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；(2)见解析；（3）不存在.
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，可求得的取值范围.（2）联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理.代入并化简，可证得为定值.（3）先假设存在这样的直线，利用两个向量的数量积为零建立方程并化简成一元二次方程的形式，计算其判别式，可知不存在.
【详解】（1）（法一）设直线方程为，即，点C（2，3）到直线的距离为
,解得
（法二）设直线方程为，联立圆C的方程得
,此方程有两个不同的实根
,解得
(2)设直线方程为，联立圆C的方程得
,设M,
则

（3）假设存在满足条件的直线，则有
得，从而得,此方程无实根
所以，不存在以MN为直径的圆过原点．
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系.要直线和圆由两个交点，可以用圆心到直线的距离小于半径来列不等式解决.