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2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省佳木斯市四校联考高二上学期11月期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间中，下列结论正确的是（ ）
A．＝＋B．＝＋＋
C．＝＋－D．＝＋
【答案】B
【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D错误，
故选：B
2．在直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】由已知得，
故选：C
3．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【详解】由已知，可设所求直线的方程为：，
即，
又因为此直线与直线平行，
所以：，
解得：，
所以所求直线的方程为：，即．
故选：A．
4．圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，
故选：A..
5．已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意，作图，则明确其直线的边界，根据旋转可得答案.
【详解】由题意，可作图：
则直线l介于与之间，的斜率，的斜率，
即直线l的斜率，
故选：C.
6．圆与圆相交于两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆与圆，
将两圆方程相减整理得直线的方程：，
又，即，
圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
所以.
故选：B.
7．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由椭圆的定义及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．
【详解】由椭圆的方程可得，，所以，
设，则，由在第一象限可得，即，
因为，所以，
整理可得，
解得或2（舍，
即，，
所以在中，，
故选：A．
8．已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D
二、多选题
9．已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为
B．圆M的直径为10
C．圆M被x轴截得的弦长为8
D．圆M关于直线对称的圆的方程是
【答案】BC
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，以及直径，判断A、B；根据圆的弦长的计算判断C；求出圆M关于直线对称的圆的圆心坐标，确定半径，可得其方程，判断D.
【详解】由题意知圆M的一般方程为，
故圆的标准方程为，
则圆心为，半径为5，则直径为10，A错误，B正确；
圆心到x轴的距离为3，故圆M被x轴截得的弦长为，C正确；
设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
而圆M关于直线对称的圆的半径为5，
故圆M关于直线对称的圆的方程为，
即，D错误，
故选：BC
10．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17B．C．D．1
【答案】AC
【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
解得或.
故选：AC.
11．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点
B．若，则或-3
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
【答案】ACD
【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.
【详解】：过点，A正确；
当时，，重合，故B错误；
由，得或2，故C正确；
：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
12．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．P到最大的距离是9
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
【详解】由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
【答案】5
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为，且与垂直，
所以，解得．
故答案为：5.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率
【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率
故答案为：
15．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】设正方体棱长为2，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
则，
设异面直线与所成角为，
所以，
所以异面直线与所成角的正弦值为：.
故答案为：.
16．过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
当时，取到最大值．
故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题
17．已知为圆上一动点，为直线上一个动点．
(1)求圆心的坐标和圆的半径；
(2)求的最小值．
【答案】(1)圆心坐标为，半径为
(2)
【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
（2）求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，圆的方程可化为，
所以圆心的坐标为，圆的半径为．
（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以，即的最小值为．
五、未知
18．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式可求答案；
(2)求出平面的法向量，结合 (1)中平面的法向量，利用两个法向量的夹角余弦值，则可得两个锐二面角的余弦值.
【详解】（1）解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，.
∴，，，.
设平面的法向量为，则，∴，
∴，取，则，，∴，
又，
∴点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，则C ，∴，
∴，取，则，∴，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.
六、解答题
19．已知直线经过点，圆．
(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆C的圆心到直线l的距离，解得，
故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，
所以圆心到直线l的距离为．
由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或．
故直线l的方程为或．
七、未知
20．已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标设椭圆方程，将代入椭圆方程，结合即可求解.
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，得出，再由中点坐标知，求出值，即可得到直线方程.
【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为，
设椭圆的标准方程为，且，
则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，
设直线的方程为，即，
设，
则，消去得，
，
所以，，
又是弦的中点，所以，解得，
故直线的方程为
八、解答题
21．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解；
（2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，
所以椭圆的方程．
（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，解得，
设，，则，，
又由，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
22．如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：∥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.
【详解】（1）因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
又，
可得，因为平面，
所以∥平面.
（2）设，，则，
设平面的法向量为，
又，
则，令，则，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故存在H，当时满足题意.
一、单选题
1．在空间中，下列结论正确的是（ ）
A．＝＋B．＝＋＋
C．＝＋－D．＝＋
【答案】B
【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D错误，
故选：B
2．在直三棱柱中，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】由已知得，
故选：C
3．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【详解】由已知，可设所求直线的方程为：，
即，
又因为此直线与直线平行，
所以：，
解得：，
所以所求直线的方程为：，即．
故选：A．
4．圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为
，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，
故选：A..
5．已知，两点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意，作图，则明确其直线的边界，根据旋转可得答案.
【详解】由题意，可作图：
则直线l介于与之间，的斜率，的斜率，
即直线l的斜率，
故选：C.
6．圆与圆相交于两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆与圆，
将两圆方程相减整理得直线的方程：，
又，即，
圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
所以.
故选：B.
7．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由椭圆的定义及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．
【详解】由椭圆的方程可得，，所以，
设，则，由在第一象限可得，即，
因为，所以，
整理可得，
解得或2（舍，
即，，
所以在中，，
故选：A．
8．已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D
二、多选题
9．已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为
B．圆M的直径为10
C．圆M被x轴截得的弦长为8
D．圆M关于直线对称的圆的方程是
【答案】BC
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，以及直径，判断A、B；根据圆的弦长的计算判断C；求出圆M关于直线对称的圆的圆心坐标，确定半径，可得其方程，判断D.
【详解】由题意知圆M的一般方程为，
故圆的标准方程为，
则圆心为，半径为5，则直径为10，A错误，B正确；
圆心到x轴的距离为3，故圆M被x轴截得的弦长为，C正确；
设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
而圆M关于直线对称的圆的半径为5，
故圆M关于直线对称的圆的方程为，
即，D错误，
故选：BC
10．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17B．C．D．1
【答案】AC
【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
解得或.
故选：AC.
11．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点
B．若，则或-3
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
【答案】ACD
【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.
【详解】：过点，A正确；
当时，，重合，故B错误；
由，得或2，故C正确；
：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
12．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．P到最大的距离是9
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
【详解】由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
【答案】5
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为，且与垂直，
所以，解得．
故答案为：5.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A.若为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率
【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率
故答案为：
15．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】设正方体棱长为2，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
则，
设异面直线与所成角为，
所以，
所以异面直线与所成角的正弦值为：.
故答案为：.
16．过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
当时，取到最大值．
故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题
17．已知为圆上一动点，为直线上一个动点．
(1)求圆心的坐标和圆的半径；
(2)求的最小值．
【答案】(1)圆心坐标为，半径为
(2)
【分析】（1）化简圆的方程为标准方程，进而求得圆的圆心坐标和半径；
（2）求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，圆的方程可化为，
所以圆心的坐标为，圆的半径为．
（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以，即的最小值为．
五、未知
18．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式可求答案；
(2)求出平面的法向量，结合 (1)中平面的法向量，利用两个法向量的夹角余弦值，则可得两个锐二面角的余弦值.
【详解】（1）解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，.
∴，，，.
设平面的法向量为，则，∴，
∴，取，则，，∴，
又，
∴点到平面的距离为.
（2）解：设平面的法向量为，则C ，∴，
∴，取，则，∴，
∴，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值.
六、解答题
19．已知直线经过点，圆．
(1)若直线与圆C相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解；
（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.
【详解】（1）由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2.
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为：，即，
则圆C的圆心到直线l的距离，解得，
故直线l的方程为．综上，直线l的方程为或．
（2）因为直线l被圆C所截得的弦长为，
所以圆心到直线l的距离为．
由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或．
故直线l的方程为或．
七、未知
20．已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标设椭圆方程，将代入椭圆方程，结合即可求解.
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，得出，再由中点坐标知，求出值，即可得到直线方程.
【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为，
设椭圆的标准方程为，且，
则①，
又椭圆过点，所以②，联立①②解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，且直线过点，
设直线的方程为，即，
设，
则，消去得，
，
所以，，
又是弦的中点，所以，解得，
故直线的方程为
八、解答题
21．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求解；
（2）设的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，
所以椭圆的方程．
（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，解得，
设，，则，，
又由，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
22．如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：∥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.
【详解】（1）因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
又，
可得，因为平面，
所以∥平面.
（2）设，，则，
设平面的法向量为，
又，
则，令，则，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故存在H，当时满足题意.
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