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2023-2024学年江西省宁冈中学高二上学期11月期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江西省宁冈中学高二上学期11月期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.
故选:A
2．直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线方程转化为斜截式，从而得到其斜率．
【详解】由，得，
所以直线的斜率为．
故选：C．
3．经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.
【详解】令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
4．直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过联立方程组求得正确答案.
【详解】由解得，
所以交点为.
故选：B
5．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A．-9B．-8C．9D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由，得，
所以，解得.
故选：D.
6．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
7．已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
二、多选题
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.
【详解】由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案.
【详解】因为圆，点，
当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为，
则，解得，从而切线方程为；
当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
容易验证，直线与圆相切.
故过点的圆的切线方程为或，
故选：CD.
11．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m判断B.
【详解】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
12．过抛物线上一点作圆：的两条切线，切点为，，则（ ）
A．使的点共有2个
B．既有最大值又有最小值
C．使四边形面积最小的点有且只有一个
D．直线过定点
【答案】AC
【分析】利用轨迹方程、直线与圆的位置关系、二次函数及复合函数最值、反证法分析推理运算即可得解.
【详解】解：
对选项A，如上图，要使，又由于为切线，
则，，，
所以四边形是正方形，且有.
所以，对于圆，使得切线的点构成的轨迹是
圆心为点、半径为的圆（图中虚线圆），
该圆与抛物线有两个交点.
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
综上知，使的点共有2个，故A正确；
连接、，如上图，由直线与圆的位置关系知，
，，.
设，则，即有，且，
又因为，所以
，
由二次函数知当时取得最小值，此时对应抛物线顶点，
即，当点位于抛物线顶点时取得最小值.
对选项B，因为在直角中，，
所以，
当取得最小值时，取得最小值；
但是随着点沿抛物线向上移动，可以无限变大，
无限接近于，但没有最大值，故B错误；
对选项C，因为，
又知当点位于抛物线顶点时取得最小值，
所以，使四边形面积最小的点有且只有一个，故C正确；
对选项D，假设直线过定点，则该定点必为所在任意两条
不同直线的交点，
当点位于点时，所在直线为；
当点位于点时，所在直线为，
这两条直线交点为.
但是，当点位于点时，所在直线不过点，
这与假设矛盾，故假设不真，即不过定点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】1.圆的最值问题有代数法求最值、几何法求最值等方法；
2.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断；
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程解的个数（也就是方程组解的个数）来判断.
3.弦长的两种求法：
（1）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；
（2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长.
三、填空题
13．双曲线的离心率是 .
【答案】/
【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率．
【详解】由双曲线可知：，
所以，
所以双曲线的离心率为：.
故答案为：.
14．函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解.
【详解】因为，
所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，
即，如下图所示：
由图可知，当点、、三点共线时，取最小值，
且.
故答案为：.
15．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ．
【答案】
【分析】首先求出两条直线的交点坐标，根据两条直线垂直，设出直线方程，代入交点求解即可.
【详解】，即交点为.
设垂直于直线的直线为，
代入得：，解得，
所求直线为.
故答案为：
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：
利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，求抛物线C的方程；
【答案】.
【分析】由抛物线上的点求抛物线方程.
【详解】因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
18．已知复数z满足（i是虚数单位）
(1)求z的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的除法运算求出即可.
（2）由（1）的结论，结合复数的乘方运算，再利用复数的几何意义列出不等式组求解作答.
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知，
，由复数在复平面内对应的点在第三象限，
得，解得，
所以实数m的取值范围为.
19．已知直线，求:
(1)求直线的斜率；
(2)若直线与平行，且过点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将直线的一般式转化为斜截式即可得解；
（2）根据直线的点斜式求解即可.
【详解】（1）直线，即的斜率为.
（2）若直线与平行，则斜率为，又过点，
故直线的方程为，即.
20．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
21．已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设P点坐标为，由题意列出等式，化为方程，即可得答案；
（2）设出直线方程，联立轨迹方程，可得根与系数关系式，利用点的坐标表示出，结合根与系数的关系式化简，即可求得答案.
【详解】（1）设P点坐标为，
由可得，
化简得，即C的轨迹方程为；
（2）由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；
直线MN的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
由于直线过内一点，必有，
设，则，
则
，
由于，故，
综合以上可知.
【点睛】关键点睛：本题考查轨迹方程的求解以及直线和圆的位置关系中向量数量积的取值范围，解答本题的关键是利用点的坐标表示出，进而结合根与系数的关系式化简，即可求解答案.
22．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意推出，结合双曲线定义即可求得答案；
（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线和的方程，推得，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.
【详解】（1）由得，其半径为4，
因为线段的垂直平分线与直线交于点，
故，则,
而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，
则，
故点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题意知，
若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，
联立，得，，
故，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
故，
则，
即，解得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线的交点在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.
故选:A
2．直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线方程转化为斜截式，从而得到其斜率．
【详解】由，得，
所以直线的斜率为．
故选：C．
3．经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.
【详解】令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
4．直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过联立方程组求得正确答案.
【详解】由解得，
所以交点为.
故选：B
5．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A．-9B．-8C．9D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由，得，
所以，解得.
故选：D.
6．平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
7．已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
二、多选题
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.
【详解】由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案.
【详解】因为圆，点，
当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为，
则，解得，从而切线方程为；
当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
容易验证，直线与圆相切.
故过点的圆的切线方程为或，
故选：CD.
11．已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【分析】由双曲线方程、几何性质和参数关系判断A、C、D；写出渐近线方程，结合垂直关系求参数m判断B.
【详解】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
12．过抛物线上一点作圆：的两条切线，切点为，，则（ ）
A．使的点共有2个
B．既有最大值又有最小值
C．使四边形面积最小的点有且只有一个
D．直线过定点
【答案】AC
【分析】利用轨迹方程、直线与圆的位置关系、二次函数及复合函数最值、反证法分析推理运算即可得解.
【详解】解：
对选项A，如上图，要使，又由于为切线，
则，，，
所以四边形是正方形，且有.
所以，对于圆，使得切线的点构成的轨迹是
圆心为点、半径为的圆（图中虚线圆），
该圆与抛物线有两个交点.
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
在处，圆的两条切线圆、相互垂直；
综上知，使的点共有2个，故A正确；
连接、，如上图，由直线与圆的位置关系知，
，，.
设，则，即有，且，
又因为，所以
，
由二次函数知当时取得最小值，此时对应抛物线顶点，
即，当点位于抛物线顶点时取得最小值.
对选项B，因为在直角中，，
所以，
当取得最小值时，取得最小值；
但是随着点沿抛物线向上移动，可以无限变大，
无限接近于，但没有最大值，故B错误；
对选项C，因为，
又知当点位于抛物线顶点时取得最小值，
所以，使四边形面积最小的点有且只有一个，故C正确；
对选项D，假设直线过定点，则该定点必为所在任意两条
不同直线的交点，
当点位于点时，所在直线为；
当点位于点时，所在直线为，
这两条直线交点为.
但是，当点位于点时，所在直线不过点，
这与假设矛盾，故假设不真，即不过定点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】1.圆的最值问题有代数法求最值、几何法求最值等方法；
2.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断；
（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程解的个数（也就是方程组解的个数）来判断.
3.弦长的两种求法：
（1）代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；
（2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长.
三、填空题
13．双曲线的离心率是 .
【答案】/
【分析】直接利用双曲线方程求出，然后求解离心率．
【详解】由双曲线可知：，
所以，
所以双曲线的离心率为：.
故答案为：.
14．函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解.
【详解】因为，
所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，
即，如下图所示：
由图可知，当点、、三点共线时，取最小值，
且.
故答案为：.
15．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ．
【答案】
【分析】首先求出两条直线的交点坐标，根据两条直线垂直，设出直线方程，代入交点求解即可.
【详解】，即交点为.
设垂直于直线的直线为，
代入得：，解得，
所求直线为.
故答案为：
16．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：
利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，求抛物线C的方程；
【答案】.
【分析】由抛物线上的点求抛物线方程.
【详解】因为抛物线：经过点，
则，解得，
故抛物线的方程为.
18．已知复数z满足（i是虚数单位）
(1)求z的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的除法运算求出即可.
（2）由（1）的结论，结合复数的乘方运算，再利用复数的几何意义列出不等式组求解作答.
【详解】（1）由，得.
（2）由（1）知，
，由复数在复平面内对应的点在第三象限，
得，解得，
所以实数m的取值范围为.
19．已知直线，求:
(1)求直线的斜率；
(2)若直线与平行，且过点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将直线的一般式转化为斜截式即可得解；
（2）根据直线的点斜式求解即可.
【详解】（1）直线，即的斜率为.
（2）若直线与平行，则斜率为，又过点，
故直线的方程为，即.
20．已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.
【详解】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，
所以①
因为在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
21．已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设P点坐标为，由题意列出等式，化为方程，即可得答案；
（2）设出直线方程，联立轨迹方程，可得根与系数关系式，利用点的坐标表示出，结合根与系数的关系式化简，即可求得答案.
【详解】（1）设P点坐标为，
由可得，
化简得，即C的轨迹方程为；
（2）由题意知直线MN的斜率不存在时，不妨取，
此时；
直线MN的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，整理得，
由于直线过内一点，必有，
设，则，
则
，
由于，故，
综合以上可知.
【点睛】关键点睛：本题考查轨迹方程的求解以及直线和圆的位置关系中向量数量积的取值范围，解答本题的关键是利用点的坐标表示出，进而结合根与系数的关系式化简，即可求解答案.
22．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意推出，结合双曲线定义即可求得答案；
（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线和的方程，推得，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.
【详解】（1）由得，其半径为4，
因为线段的垂直平分线与直线交于点，
故，则,
而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，
则，
故点的轨迹的方程为.
（2）证明：由题意知，
若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l的斜率不能为0，故设其方程为，
联立，得，，
故，
设，则直线的方程为，
直线的方程为，
故，
则，
即，解得，
故直线与直线的交点在定直线上.
【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线与直线的交点在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.
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