2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
2．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
3．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．；B．；C．；D．；
【答案】A
【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【详解】解：由已知可得，得，

根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即
如图所示：，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.
4．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设是x轴上一点，根据反射光线的性质得，解出值即可计算出直线斜率，再写出点斜式方程即可.
【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
所以反射光线经过点，
由反射的性质可知：，
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A.
5．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
6．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可．
【详解】设弦两端点为，则
①-②得 即直线为
化简得
故选C
【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题．
7．如图，已知是椭圆的左、右焦点，点 在椭圆上，线段与圆相切于点 ，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用为的中点及可得且为直角三角形，故可得的等式关系，从这个等式关系进一步得到，消去后可得离心率.
【详解】连接， 因为线段与圆相切于点，故，
因，点为线段的中点，
故且，故，
又，故，整理得到，
所以，所以，故选A.
【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
8．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为
实数），则椭圆的离心率
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，设，由三角形重心坐标公式可得重心，由， 故内心的纵坐标为，在焦点中，，则，.选B.
【点睛】这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，通过面积相等得出关于的等式，求出离心率.
二、多选题
9．已知两点，，则在下列曲线上存在点满足的方程有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．根据，的坐标求得垂直平分线的方程，分别于题设中的方程联立，看有无交点即可．
【详解】解：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．
因为，，所以的中点坐标为，斜率为，
的垂直平分线为，即，
，即与，斜率相同、纵截距不相同，故两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意．
由与，联立消去得，，可知B中的曲线与的垂直平分线有交点，故B正确；
与，联立消去得，
，可知C中的曲线与的垂直平分线有交点，故C正确；
与，联立消去得，
，可知D中的曲线与的垂直平分线有交点，故D正确；
故选：BCD．
三、单选题
10．设椭圆的左､右焦点为､，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．的最大值为3
C．△面积的最大值为D．的最小值为2
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出、、，即可判断A，设根据二次函数的性质判断BD，由判断C.
【详解】因为椭圆，所以，，所以，，，所以，，，故A错误；
设，所以，所以，因为，所以当时，，即，故B错误；
因为，又，所以当时，即在短轴的顶点时面积的取得最大值，，故C错误；
对于D：，因为，所以，所以，故D正确；
故选：D
四、多选题
11．正方体的棱长为，点，分别在棱，上，且，，下列命题正确的是（ ）
A．异面直线与垂直；
B．；
C．三棱锥的体积为
D．点到平面的距离等于
【答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法分别判断ABD选项及到平面的距离，进而可得三棱锥的体积.
【详解】
连接，，，以O为原点建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，，，
A选项：，所以，即，A选项正确；
B选项：，所以与不垂直，B选项错误；
C选项：，C选项正确；
D选项：设平面的法向量为，则，令，则，所以点到平面的距离，D选项错误；
故选：AC.
12．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】设右焦点为，由椭圆的对称性，得四边形为平行四边形，推出，，，由椭圆的定义，解得，，在中由余弦定理可得，解得离心率，设,，,，,，把点，坐标代入椭圆的方程，两式相减得，即，即可得出答案．
【详解】
设右焦点为，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，
则，，
，
而，
所以，，
在中，，
，则，解得，
设,，,，,，
所以，，
两式相减得，
所以，
所以，
即，
所以.
故选：AC．
五、填空题
13．已知矩形，沿对角线将折起，使二面角的平面角的大小为，则与之间距离为 .
【答案】/.
【分析】过和分别作，则由题意可求得，，由二面角的平面角为，得，再利用可求得结果.
【详解】解：过和分别作，
，
，
，
则，即，
二面角的平面角为，
则，
即与之间距离为，
故答案为：
14．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】设，由余弦定理知，所以，故填.
15．椭圆的左焦点为，为椭圆上的动点，是圆上的动点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】作出图形，根据圆的几何性质以及椭圆的定义可得出，数形结合可求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径为．
由椭圆方程可知，，，
则该椭圆的左焦点为，右焦点为．
所以，
，
当且仅当点为直线与圆的交点（点在线段上）且点为直线与椭圆的交点（点在线段上）时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
16．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，建立不等式，再化归转化，即可求解．
【详解】椭圆的左、右顶点分别为、，
且以线段为直径的圆与直线相交，
，
，
，
，
，或
又
椭圆的离心率的取值范围为．
故答案为：．
六、证明题
17．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面, 原题即得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，，
∵，分别为，的中点，
∴且，又为的中点，底面为正方形，
∴且，
∴且，故四边形为平行四边形，∴.
.
因为平面ABCD，CD在面ABCD内，所以.
又，平面,
所以平面，AE在面PAD内，所以.
又平面,
所以平面,
所以平面.
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，
所以，
故，
设平面的法向量，则，得，
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
七、问答题
18．已知圆与圆．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两个圆的方程相减即可得到公共弦直线方程；
（2）先由圆的方程解出交点坐标，再列方程求解圆心即可得到答案.
【详解】（1）因为圆与圆，
所以将代入，
得两圆公共弦所在直线的方程为
（2）由，
解得，则交点为，，
圆心在直线上，所以设圆心为，
则，即，
解得，故圆心，半径，
所求圆的方程为
八、解答题
19．如图所示，椭圆C：的离心率为，其左焦点到点的距离为．
求椭圆C的标准方程；
若P在椭圆上，且，求的面积．
【答案】（1）； （2）.
【分析】(1)由题意列出方程组求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；
(2)由题意结合余弦定理和椭圆的定义求得的值，然后结合三角形面积公式求得的面积即可.
【详解】由题目条件，知
左焦点到点的距离
联立，解得，，，
所以所求椭圆C的标准方程为
由已知，，，，
在中，由余弦定理，得
，
即
由椭圆定义，得，
即
代入解得
所以的面积为：
，
即的面积是
【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
20．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）O是坐标原点，过椭圆的右焦点直线交椭圆于P，Q两点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将点代入椭圆方程，并根据离心率得到关系，代入求椭圆方程；（2）首先设直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示的面积，代入根与系数的关系，表示面积，最后利用换元求面积最大值.
【详解】解：（1）由得，所以
由点在椭圆上得解得，
，
所求椭圆方程为．
（2），设直线，
代入方程化简得，
由韦达定理得，，
的面积为，
所以求ABC的最大值即求的最大值．
．
令，上式可表示成，
在单调递增，所以当时取得最大值9，此时．
【点睛】思路点睛：本题考查椭圆中三角形面积的最值问题，因为面积是用纵坐标表示，所以设直线，表示直线过轴一点，其中包含斜率不存在的直线，但不包含过定点，斜率为0的直线，这样联立方程后用根与系数的关系表示面积时，比较简单.
21．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析；定点
【分析】（1）设椭圆，由离心率为，得，再根据点在椭圆上求解；
（2）当直线与x轴垂直时，设，则．由直线与的斜率之和为1求解；当直线不与x轴垂直时，设直线为，，，与椭圆方程联立，易知，然后结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：设椭圆，
由离心率为，得，
又因为，
所以．
由在椭圆上可得，
解得，．
所以椭圆的方程为．
（2）当直线与x轴垂直时，设，则．
由题意得：，即．所以直线的方程为．
当直线不与x轴垂直时，可设直线为，，，
将代入得，
所以，．
由已知可得①，
将和代入①，
并整理得②，
将，代入②，
并整理得，可得，
因为直线不经过点，
所以，故．
所以直线的方程为，经过定点．
综上所述，直线经过定点．
22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，
(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程；
【答案】(1)直线的方程为，过定点
(2)
【分析】（1）直线是以为直径的圆和圆的公共弦所在直线，求出直线方程即可得到定点；
（2）利用几何的知识得到中点的轨迹，根据轨迹求方程即可．
【详解】（1）因为，为圆的切线，所以，
设的中点为，所以点，在以为直径的圆上，
又点，在圆上，所以线段为圆和圆的公共弦，
因为圆①，
所以，，中点为，
则圆，
整理得②，
②①得直线的方程为，
所以，所以直线过定点；
（2）直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
的中点设为点，由始终垂直干，所以点的轨迹为以为直径的圆，
当点在轴上时，点与点的重合，点不可能为的中点，则点与点不可能重合，由，，得的中点坐标为，，所以点的轨迹是以为圆心为半径的圆去掉点，
点的轨迹方程为．