2023-2024学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期11月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得，而，
所以.
故选：A
2．复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
3．已知直线a，b和平面，下列推论错误的是（ ）
A．，
B．，
C．，或
D．，
【答案】D
【分析】由线面垂直的性质可判断A；由线面垂直的判定可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由线面平行的性质定理可判断D.
【详解】，，由线面垂直的性质可得，故A正确；
， 由线面垂直的判定定理可得，故B正确；
，或，故 C正确；
，或与异面，故D错误.
故选：D.
4．下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B不符题意；
对于C，函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故C不符题意；
对于D，函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故选：D.
5．在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】A
【分析】先利用空间两点间距离公式，把，，的长度求出来，再利用余弦定理，面积公式等求出点A到直线BC的距离
【详解】利用空间两点间距离公式，，，
所以
所以
设点A到直线BC的距离为
则
故选：A
6．甲、乙2人破译1个密码，若他们能独立译出密码的概率分别为和，则他们至少有1人译出密码的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对立事件的性质以及相互独立事件概率乘法公式求解．
【详解】由题意得，密码不能破译的概率为，
则他们至少有1人译出密码的概率是．
故选：D．
7．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求得圆锥高度，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度，由此得解.
【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆锥高度为，上、下底面半径为，
则，又沙漏总高度为，则，
所以，即，解得，
所以初始状态的沙子高度为.
故选：C.
8．已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解.
【详解】解：如图所示：
因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，
由图象知：，
所以，
故选；C
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．直线的截距为
【答案】BC
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由于，的横坐标相等，即直线与y轴垂直，故倾斜角为，对；
C：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
D：直线在y轴上的截距为，但轴上的截距不一定为，错.
故选：BC
10．下列命题中真命题的有（ ）
A．若a，b，，且，则B．若，则的最小值为2
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得.
【详解】对于选项A，则，因此不等式两边同时除以，即可得，因此选项A正确；
对于选项B，，当且仅当时，等号成立，但此时无解，因此最小值不为2，所以选项B错误；
对于选项C，，而，，因此选项C正确；
对于选项D，当时，，因此选项D错误.
故选：AC
11．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ）
A．事件、是相互独立事件B．事件、是互斥事件
C．D．
【答案】AC
【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．
【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
，
事件包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
，
，事件、是相互独立事件，故正确；
事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；
，故正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
．故错误．
故选：．
12．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与的夹角为
B．二面角的正切值是
C．经过三点截正方体的截面是等腰梯形
D．点到平面的距离为
【答案】AB
【分析】对于A通过找平行线将求异面直线夹角问题转化为求相交直线的夹角；对于B找出二面角平面角计算即可；对于C作出满足题意的截面即可；对于D利用等体积法计算即可.
【详解】对于A，如图1所示，由正方体性质易证得四边形为平行四边形，所以，所以直线与的夹角即直线与的夹角，直线与的夹角为.又因为三边都为正方体的面对角线，所以为等边三角形,故，即直线与的夹角为.故A正确.

对于B，如图2所示，连接，由平面,平面，得，又因为，所以即为二面角的平面角，在中，,所以二面角的正切值是，故B正确.
对于C，如图3所示，在上取，四边形即经过三点截正方体的截面，不是等腰梯形，故C错误.

对于D，如图4所示，设点到平面的距离为，由题意得：,.又因为，所以，故，故D错误.
故选:AB
三、填空题
13．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式求出答案.
【详解】根据题意得到，
故.
故答案为：
14．直线，，若则 .
【答案】或
【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数即可.
【详解】由题设，故或.
故答案为：或
15．已知向量，.若，则 ．
【答案】2
【详解】由题意得，
又，，
∴，解得．
答案：2
四、双空题
16．三棱锥的底面是以AC为底边的等腰直角三角形．且，各侧棱长均为3，点E为棱PA的中点，则E到平面ABC的距离为 ；三棱锥的外接球的表面面积为 ．
【答案】 / /
【分析】根据线面垂直得出点到面的距离，通过几何体的特征求出外接球半径结合球的表面积公式计算即得.
【详解】取AC中点O，连接PO，BO，

因为，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，又，满足，
所以，因为，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为；
设三棱锥外接球的球心为M，因为，平面ABC，
所以M在PO上，设球的半径为R，所以，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积．
故答案为：；．
五、解答题
17．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；
(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，
成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故中位数位于之间，中位数是，
平均数为：.
（2）∵与的党员人数的比值为，
采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，
设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，
则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：
，，，，，，，，，，共10个样本点，
这2人中至少有1人成绩低于76分的有：
，，，，，，，共7个样本点，
故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.
18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，．
(1)求的长；
(2)求异面直线与所成的角．
【答案】(1)
(2)90°．
【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求得模长.
(2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.
【详解】（1）设，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以
，
所以．
（2）又，，
所以
∴
∴异面直线与所成的角为90°．
19．已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1)在轴、轴上的截距互为相反数；
(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程；
（2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，．
【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为,
故直线方程为，即
六、问答题
20．在中，内角的对边分别为，已知，，
(1)求；
(2)在下面两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长度：①的周长为；②面积为.
【答案】(1)；
(2)所选条件及答案见解析.
【分析】（1）由正弦边角关系、倍角正弦公式得，结合已知即可求；
（2）由（1）知是顶角为的等腰三角形且，根据所选条件求出各边长，若边上的中线，则，结合数量积的运算律求中线长.
【详解】（1）由及正弦边角关系知：，
而，故，所以.
（2）由（1）知：是顶角为的等腰三角形，则，
选①，，则，故，故存在且唯一确定，
如上图，若边上的中线，则，
所以，故；
选②，，则，故，，故存在且唯一确定，
同①，若边上的中线，则，故；
七、解答题
21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.
【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面.
（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量.
，.
取，有
∴，，
则，.
∴平面.
（法三）证明：连接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
（2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.
平面的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
过D做于，连接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴为二面角的平面角.
在中，，
∴.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
22．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
(2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为
(2)的所有可能取值为．
【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解.
【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．
（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，相互独立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，
所以，即．
进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
当时，，舍去
当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5