2023-2024学年山西省朔州市怀仁市第一中学校高二上学期第三次月考（11月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省朔州市怀仁市第一中学校高二上学期第三次月考（11月）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】D
【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可
【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B，
所以，，
所以．
故选：D
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义可得结果
【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为，
故选:C.
3．已知直线的一个方向向量，且直线经过和两点，则（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】A
【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.
【详解】因为，
直线的一个方向向量为，
所以有向量与向量为共线，
所以，
解得，，
所以，
故选：A.
4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解.
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，解得，
∴直线，
又∵直线可化为，
∴两平行线之间的距离．
故选：C．
5．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】根据题意，得；
故选：A
6．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程
【详解】设，有，
由可知，
又由椭圆的定义有，
可得，解得，
可得，
，，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
7．已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.
【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为，
所以直线过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为，
故选：D
8．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据，设出，，，从而得到椭圆，直线：，联立椭圆和直线得到，，再求直线BC的斜率即可.
【详解】由题知：，，，
，设，则，，
则椭圆，直线：.
所以，解得，，
则.
因为，所以.
故选：C
二、多选题
9．已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】BC
【分析】由，可得，即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，解得或1．
故选：BC.
10．已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（，为实数），则
【答案】BC
【分析】对于选项A，由空间向量平行的条件可判断；对于选项B，根据空间向量的模的计算公式可判断；对于选项C，由空间向量的夹角计算公式计算可判断；对于D选项，根据空间向量相等和线性运算可判断..
【详解】解：对于选项A，由，故A选项不正确；
对于选项B，由，，故B选项正确；
对于选项C，由，得，故C选项正确；
对于D选项，由，得，解得，，有，故D选项错误.
故选：BC.
11．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】BC
【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分，利用直线与圆相切求出的值，结合图形即可得答案.
【详解】解：曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为，
故选：BC.
12．设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．4
【答案】BD
【分析】首先设点，得到，，结合点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，
则有，解出其范围结合选项即得.
【详解】设，∵，，∴，，由可得，又∵点在椭圆上，即，
∴，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.
故选：BD
三、填空题
13．已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则 .
【答案】
【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可.
【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为，
又因为点B的坐标为，所以．
故答案为：.
14．以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为 .
【答案】或
【分析】根据两圆相切，分内切和外切得到半径，从而得到圆的方程.
【详解】两圆的圆心之间的距离为.
当两圆外切时，圆的半径为；
当两圆内切时，圆的半径为.
∴圆的方程为或.
故答案为：或.
15．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．
【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．
故答案为：
16．已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】由点差法可得，则，又，联立解得，即可得出椭圆方程．
【详解】设椭圆的标准方程为，
由题意，椭圆被直线所截得弦的中点的坐标为，
设，则，
由，得，
即，则，
，即，又，所以，
故椭圆的标准方程为．
故答案为：．
四、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
（2）以点，为焦点，经过点.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程．
（2）根据椭圆的定义可求，再求出后可求椭圆的标准方程．
【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由题意有，可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.
由题意有，，，
有，，
故椭圆的标准方程为.
【点睛】方法点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，注意根据问题的特征选择合适的方法来处理．
18．如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：EF//平面ABCD；
(2)求直线DE，BF所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行；
（2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可.
【详解】（1）证明：如图连
∵几何体为正方体，
∴，
∴EF∥BD
∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD；
（2）解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系
令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，
，
DE，BF所成角的余弦值为
19．在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4
(1)写出点轨迹的方程；
(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；
（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，
故，，，其椭圆方程为.
（2）联立得，
因为有两个交点，所以，
解得，所以的取值范围为.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求PC与平面PBE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面得到，根据等腰三角形的性质得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用线面垂直的性质即可得到；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角即可.
【详解】（1）证明：∵平面，平面PAD，∴，
又∵是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，∴，
又∵平面，平面，，
∴平面
∵平面ABCD，∴；
（2）
解：如图，以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面ABCD内，
通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，则，，
设平面PBE的法向量为，
，取，则，
故为平面PBE的一个法向量，
设PC与平面PBE所成的角为，则，
∴与平面PBE所成角的正弦值为．
21．在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足（如图1），将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（如图2）．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）中，由余弦定理求EF，由勾股定理证，再由平面平面BEP证平面，即可证
（2）分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由向量法求出平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值，即可二面角求正弦值
【详解】（1）证明：由题意，在图1中，，，又，
所以由余弦定理可得，
所以，所以，所以在图2中，即，
因为二面角为直二面角，即平面平面BEP，
又平面平面，平面，
所以平面．∵平面，∴；
（2）分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则取，得
设平面的法向量为，
则取，得，
∴，，
所以二面角的正弦值为．
22．已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，再由，可求出离心率，
（2）由离心率可得椭圆方程为，设，则由可得，再由在椭圆上，可得，从而可求出直线的斜率
【详解】（1）椭圆的上顶点为和右顶点为，
因为直线的斜率为，
所以，，
所以离心率为，
（2）因为离心率，所以，则，
所以椭圆方程为，，
设，
则，得，则，
因为在椭圆上，所以，，
解得，
则直线的斜率为，