2023-2024学年内蒙古包头铁路第一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古包头铁路第一中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于A，两点，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图像，根据椭圆的定义即可求解．
【详解】由题知，2a＝8，
的周长为．
故选：C．

2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
3．直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】先求得直线的恒过的点，求得该点与椭圆的位置关系，可得选项．
【详解】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
故选：A．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键得出直线的恒过点，是比较巧的方法，属于基础题．
4．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【详解】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（ ）
A．16B．24C．36D．40
【答案】C
【解析】利用双曲线的定义可得，再求出，即可得到答案；
【详解】因为双曲线为，所以；
由双曲线的定义得，
所以，
所以周长为，
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的定义的运用，考查运算求解能力.
6．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
7．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
8．景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】A
【分析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因为颈部高为20厘米，根据对称性可知颈部最右点纵坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以瓶口直径为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，利用待定系数法求出双曲线的方程，再由的值求得的值，瓶口直径为.
二、多选题
9．对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程表示椭圆
B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．存在实数，使该方程表示双曲线
D．存在实数，使该方程表示圆
【答案】BCD
【分析】由m与之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.
【详解】方程，当，即或时表示椭圆，故A不正确；
当时，，则方程表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
当，即或时，方程表示双曲线，故C正确；
当，即时，方程为，表示圆，故D正确.
故选: BCD
10．下列选项正确的是（ ）．
A．过点且和直线平行的直线方程是
B．若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C．若直线与平行，则与的距离为
D．圆和圆相交
【答案】AD
【分析】对于A：根据题意可设直线方程是，代入点运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根据平行关系求的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得，根据两圆位置关系分析判断.
【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是，
因为直线过点，
则，解得，
所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确；
对于选项B：因为，如图所示，

若，所以，故B错误；
对于选项C：若直线与平行，
则，解得，
可知，即，
所以与的距离为，故C错误；
对于选项D：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为，且，
即，所以圆和圆相交，故D正确；
故选：AD.
11．已知圆：，则（ ）
A．圆关于直线对称
B．圆被直线截得的弦长为
C．圆关于直线对称的圆为
D．若点在圆上，则的最小值为5
【答案】BCD
【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D．
【详解】圆的一般方程为，
，故圆心，半径为＝5，
，则直线不过圆心，故A错误；
点到直线的距离，
则圆被直线截得的弦长为，故B正确；
设圆关于直线对称的圆的圆心为，
则，解得，即，
故圆关于直线对称的圆的方程为，即，故C正确；
表示与点的距离，又，
的最小值是，故D正确．
故选：BCD．
12．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．的周长为
B．若的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若的最小值为，则椭圆的离心率
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案.
【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，正确；
对B，设，则，所以，，
由，即，错误；
对C，
，则，正确；
对D，容易知道，的最小值为通径长度，由于直线斜率存在，所以不能取到最小值，不正确.
故选：AC.
三、填空题
13．过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
14．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程 ．
【答案】或
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为，
把点代入可得：，解得，
所以直线的方程为：，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
15．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
【答案】
【分析】先求出最长弦和最短弦，再计算面积即可.
【详解】
圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心（1，3）半径，由题意知最长弦为过E点的直径，
最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即AC⊥BD，且，圆心和E点之间的距离为，
故，所以四边形ABCD的面积为.
故答案为：.
16．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
四、解答题
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过、两点．
(2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解.
（2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出，然后根据双曲线的定义求出，由平方关系即可求出，从而得解.
【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为，
若双曲线经过、两点，
则由题意有，解得，显然有，
所以满足题意的双曲线的标准方程为.
（2）由题意椭圆的半焦距，
所以满足题意的双曲线的焦点坐标为，
所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为，
而双曲线上的点在第二象限，
所以由双曲线的定义有
，
解得，又，所以，
所以满足题意的双曲线的标准方程为.
18．已知圆，.
(1)求过两圆交点的直线方程及弦长；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）两圆方程作差即可整理得到所求直线方程；
（2）由过两圆交点的圆系方程求出圆心，代入直线方程可求出，由此可得圆的方程.
【详解】（1）两圆方程作差可得：，即，
由可得，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长为.
即过两圆交点直线为，弦长为.
（2）设过两圆交点的圆的方程为，且，
则，，
由圆心在直线上，则，
解得，
所以所求圆的方程为.
19．已知圆，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程
(2)若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)且
【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.
（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围.
【详解】（1）当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又
所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，
所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，
综上，直线l的方程为或.
（2）由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得，
当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：
，由，得，即切点，
对于的轨迹方程，当时，，
所以，且，
综上，的轨迹方程为且，
20．已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点．
(1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值．
(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意可知，由余弦定理结合焦点三角形的性质可得，
联立两式即可求得，进而即可求解.
（2）求出直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，根据弦长公式即可求解.
【详解】（1）不妨设点在第二象限，如图所示：
根据题意得，
又因为，
所以，
由余弦定理结合焦点三角形的性质可得，
所以，
解得，
所以由三角形面积公式可知，
而.
（2）由（1）可知双曲线的右焦点，且由题意直线的斜率为，
则直线的方程为，
联立，得，
设，则由韦达定理，
所以由弦长公式有
.
21．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题可得，，再结合点在上，代入即可解出，得出椭圆方程；
（2）设，的坐标为，，联立直线与椭圆，由韦达定理结合建立方程，即可求出k值.
【详解】（1）解：由题意得，
所以，
①，
又点在上，
所以②，
联立①②，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，
得.
，
，，，
，
∵，
∴，
，
所以.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.
22．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.