2023-2024学年山西省临汾市洪洞县向明中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省临汾市洪洞县向明中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．有下列说法:
①若，则与，共面；
②若与，共面，则=x+y；
③若=x+y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则=x+y.
其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．①③
D．②④
【答案】C
【分析】利用空间向量共面定理逐一判断即可.
【详解】若，共线，由=x+y知一定与，共面，
若，不共线，则满足共面定理，与，共面，①对；
同理③对；若与，共面，且，共线，则不一定有=x+y，故②不对；
同理④不对，
故选：C.
2．在空间直角坐标系中，若点关于z轴的对称点的坐标为，则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出点M关于z轴对称点坐标，再列式计算作答,
【详解】依题意，点关于z轴的对称点，
于是得，解得，
所以.
故选：A
3．已知向量，，若与互相垂直，则的值为（ ）
A．－1B．2C．D．1
【答案】B
【分析】根据与互相垂直，可得，再根据数量积的坐标运算即可得解.
【详解】解：因为与互相垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
4．在空间直角坐标系中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求坐标，再根据向量数列积公式求解即可．
【详解】由题意得，
所以
故选：D
5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.
6．已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设与夹角为，先利用向量的夹角公式求出，再利用同角三角函数的关系可求出的值.
【详解】设与夹角为，，
因为是空间的一个单位正交基底，且，
所以，
所以，
因为，
所以，
故选：C
7．已知，，与共线，则（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】利用空间向量共线性质求参数的值.
【详解】因为，共线，
则，
∴，
∴，
故选：A．
8．在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．
【详解】解：由题意，建立如图的空间坐标系，
底面为正方形，，，底面，
点，， ， ，
则，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
二、多选题
9．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若＝，则＝
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若＝－且＝－，则=
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】AC
【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.
【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若＝－，＝－，则＝－=，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
10．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】直接利用向量求出向量的模，进一步求出单位向量．
【详解】解：由于向量，
所以
根据单位向量的关系式，
可得或．
故选：．
11．若，，是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】ABD
【解析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．
【详解】解：对于中、、，
中、、，
中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于，、、，
满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题．
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A．B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DBD．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
三、填空题
13．已知两个向量，若，则m的值为 .
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
14．已知，，则向量与的夹角为 .
【答案】/
【分析】运用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
15．已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若，则实数t的值为 .
【答案】﹣8
【解析】利用空间向量共线定理直接求解即可．
【详解】∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），，
∴，
解得t＝﹣8，
∴实数t的值为﹣8．
故答案为：﹣8．
16．已知线段垂直于三角形所在的平面，且，为垂足，为的中点，则的长为 .
【答案】
【分析】则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设求得，即可求出的长.
【详解】因为线段垂直于三角形所在的平面，且，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为在上，所以可设，先设，
所以，，
，所以，
，，
因为，所以，解得：，
，，
则的长为.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
18．已知，，．求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据向量的加减运算法则，即可得；（2）根据数乘与向量的加减运算法则，即可得．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：．
五、证明题
19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)为棱的中点时，平面，证明见解析.
【分析】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明求解作答.
（2）设出点M的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.
【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
于是得，因此，平行于平面BEF，又平面BEF，
所以AG//平面BEF.
（2）依题意，设，，则，因平面BEF，，
则当且时，DM⊥平面BEF，由（1）知，，解得，
所以当，即M为棱的中点时，DM⊥平面BEF.
20．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；
（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.
【详解】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．因为为中点，所以，
所以，，所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
六、解答题
21．已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由空间向量的加法法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，由此可求得的长；
（2）计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值，即可得解.
【详解】（1）由题可知，，
那么
，
因此，的长为；
（2）由题知，，
则，
，
所以，.
【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
22．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，，，．
(1)若点F为DC的中点，求；
(2)若点E为PB的中点，点M为AB上一点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可证，再建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后可求夹角的余弦值.
（2）设，则可用表示的坐标，再利用可求，从而可得两条线段的比值.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以点C为原点，CP，CD所在直线分别为x，z轴，过点C作PB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
则，，
所以．
（2）由（1）知，设，
而，所以，
所以，所以，
又，
因为，故，
所以，解得，
所以．