湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）
1. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先提公因式，然后再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
【详解】解：A. ，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
2. 已知，，，则、、三个数的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把、、都化为六次方根的形式，再比较大小即可.
【详解】解：，
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又，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，分数指数幂的含义，无理数的大小比较，掌握分数指数幂的运算法则是解本题的关键.
3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和的意义得到和，然后解不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且．
故答案为且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关知识点四解题的关键．
4. 一个数的小数部分用表示，为整数，且，记，的小数部分分别为，，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先估算出，，可得，，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
，的小数部分分别为，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，二次根式的混合运算，利用“夹逼法”求出求出a、b的取值范围是解答本题关键．
5. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先解不等式组，再根据仅有４个整数解，得出关于的不等式，求解即可．
【详解】解:
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有4个，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
6. 一次函数y=x+b（b＜0）与y=x﹣1图象之间的距离等于3，则b的值为________．
【答案】﹣6
【解析】
【详解】设直线y=x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，过点A作AD⊥直线y=x+b于点D，如图所示．
∵直线y=x-1与x轴交点为C，与y轴交点为A，
∴点A（0，-1），点C（，0），
∴OA=1，OC=，AC= ＝，
∴cs∠ACO=＝．
∵∠BAD与∠CAO互余，∠ACO与∠CAO互余，
∴∠BAD=∠ACO．
∵AD=3，cs∠BAD=＝，
∴AB=5．
∵直线y=x+b与y轴的交点为B（0，b），
∴AB=|b-（-1）|=5，
解得：b=4或b=-6．
∵b＜0，
∴b=-6，
故答案为-6
7. 函数的函数值随自变量的增大而减小，下列描述中：①；②函数图象与轴的交点坐标为；③函数图象经过第一象限；④点在该函数图象上，其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据函数的函数值随自变量的增大而减小，可知，即可判断①，由函数关系式可得函数图象与轴的交点坐标为，即可判断②；根据一次函数的关系式可知函数图象经过二、三、四象限，可判断③；将代入函数，得，可判断④．
【详解】解：∵函数的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴，
∴．故①正确；
令，则，所以函数图象与y轴的交点为．故②正确；
∵函数中的，
∴该函数图象经过二、四象限，
又∵，
∴该函数图象经过二、三、四象限，故③错误；
把代入函数，得
，
即点在该函数图象上，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
8. 我们知道，若．则有或．如图，直线与分别交轴于点、，则不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由不等式，则或．然后根据题干给出的分类讨论方法，分别根据函数图象求得解集即可．
【详解】解：不等式，
或．
当，由图得：，此时该不等式无解．
当，由图得：，此时不等式组的解集为．
综上：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
9. 若直线：与轴、轴分别交于点和点，直线：与轴、轴分别交于点和点，线段与的中点分别是，，点为轴上一动点．（1）点的坐标为______；（2）当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先根据函数解析式求得A、B两点的坐标，再利用中点公式可求得M的坐标；
（2）根据函数解析式求得C、D两点的坐标，求得N点的坐标，作M关于x轴对称点，连接与x轴交于点，此时有最小值，求出直线的解析式计算出与x轴的交点即可．
【详解】解：（1）在直线中，当时，，当时，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在直线中，当时，，当时，，
，
，
，
如图，作关于轴对称点，它的坐标，连接与轴交于点，此时有最小值，
设直线的解析式为，
将和的坐标分别代入得，
解得，
，
当时，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是一次函数的应用-几何问题，坐标与图形变换轴对称，（1）中能熟读题意，理解中点公式是解题关键；（2）中能根据轴对称的性质和两点之间最短得到P点坐标是解题关键．
10. 如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】2
【解析】
【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点睛】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．
11. 已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为______.
【答案】1，0，2，，3
【解析】
【分析】根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整
理为：，则，是方程的根，即是
方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可
得．
【详解】解：∵的根都是整数，
∴①当时，原方程为，
解得，；
②当时，原方程可整理为：，
则，，
即是方程的整数根，且x是整数，
则或，
解得，，，，，
综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，
故答案为；1，0，2，，3．
【点睛】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．
12. 已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】原方程变为（）-3（）-1=0，得到、β是方程x2-3x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．
【详解】解：∵α2+3α﹣1＝0，
∴（）-3（）-1=0，
∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，
∴、β是方程x2﹣3x﹣1＝0两根，
∴+β＝3， ＝﹣1，，
∴原式＝1++3β＝1+3（+β）＝1+3×3＝10，
故答案为10．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练的根据根与系数的关系进行计算是解题的关键．
13. 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，，点M，分别在上，长度始终保持不变．，为的中点，点D到的距离分别为3和2，猫与老鼠的距离的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据得到当三点共线时，的值最小，计算即可．
【详解】解：连接，

由题意和勾股定理得：，
在中，点E是的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时的值最小，
∴的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定最小时，点E的位置．
14. 如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④≌；⑤若，则，其中哪些结论是正确的______．（填序号）

【答案】②③④
【解析】
【分析】证明，不垂直于，可得与不平行．可得不正确；证明≌，可得，，证明，可得正确；证明，可得正确；证明≌，可得正确；如图，过点作于点，设，则，求解，，可得不正确；
【详解】解：在正方形中，，，
∵，
，
四边形为矩形，
在中，，
，
是中点，
，
正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线，
不垂直于，
与不平行．
不正确；
四边形矩形，
，，
平分，
，
，
．
在中，是的中点，
，，
，
，
，而，
≌，
，，
，
即，
．
正确；
≌，
，
，
．
正确；
，，，
≌，
正确；
如图，过点作于点，

设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
不正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，熟记各几何图形的性质与判定并灵活运用是解本题的关键.
15. 已知均为非零实数，且满足，，，，则的值为____．
【答案】3
【解析】
【分析】把前三个式子取倒数相加，即可化简求解.
【详解】∵，，，
∴，，，
∴=3
∴3=
∴a=3
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子进行变形求解.
16. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④若方程有两个根和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论为______．
【答案】②③④⑤
【解析】
【分析】根据开口方向及顶点坐标求出，，可求得①②③，根据图像和韦达定理即可判断④⑤．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以错误；
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以正确；
，
，所以正确；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以正确；
方程有四个根，
方程有个根，方程有个根，
所有根之和为，所以正确．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点，准确分析判断是解题的关键．
二、解答题（本大题共4小题，共40.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，，为正数，且，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】将原方程组变形得，，，进而可求出，，的值，然后代入计算即可．
【详解】，
，
，
同理可得：，，
解得：，，，
．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，正确变形是解答本题的关键．
18. 已知：在中，，，点为直线上一动点（点不与、重合）．以为边作正方形，连接．
（1）如图，当点在线段上时，求证：
①；
②．
（2）如图，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变：
①请直接写出、、三条线段之间的关系；
②若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）①；②是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明：①易得，根据正方形的性质得出，，则，，进而得出，通过证明，得出，即可求证；②由①可得，则，根据， 即可得出结论；
（2）①与（1）同理可得，，即可得出；②和（1）同理可证，则．根据，，推出，进而得出为直角三角形．根据四边形是正方形得出，则，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：①，，
，
四边形正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②由①可得，
∴，
，
；
【小问2详解】
解：①与（1）同理可得，，所以，；
②是等腰三角形，
理由：与（1）同理可证，可得：．
又，，
，
则，
，
，
为直角三角形．
又四边形是正方形，对角线与相交于点，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角相等；全等三角形对应边相等，对应角相等；等腰三角形三线合一．
19. 我们不妨约定：对角线互相垂直凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有______；
②若凸四边形是“十字形”，，，则该四边形的面积为______；
（2）如图，以“十字形”的对角线与为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若计“十字形”的面积为，记，，，的面积分别为：，，，，且同时满足四个条件：①；②；③“十字形”的周长为；④；若为的中点，为线段上一动点，连接，动点从点出发，以1cm/s的速度沿线段匀速运动到点，再以2cm/s的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求点走完全程所需的时间及直线的解析式．
【答案】（1）①菱形和正方形；②
（2）点走完全程所需的时间为，直线的解析式为
【解析】
【分析】（1）①根据菱形，正方形和矩形的性质即可判断；②根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；
（2）根据，，得出，再结合已知条件推出四边形是有一个角为的菱形，根据菱形的周长为32，即可得出，，，过点作于，过点作于，可得，点走完全程所需的时间为．此时，再结合点E的坐标，即可求出的解析式．
【小问1详解】
解：①∵菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，
∴菱形和正方形一定是十字形；
②对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，
∴四边形的面积为ab；
故答案为：①菱形和正方形；ab；
【小问2详解】
解：当，，时，
∴，，
∴，，
∵四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可证，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，，
如图中，过点作于，过点作于．
∵点的运动时间，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵菱形的周长为，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
在中，，
由勾股定理，
∴点走完全程所需的时间为．
此时，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
则直线的解析式为：．
【点睛】本题考查了菱形，正方形和矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的性质，掌握知识点是解题关键．
20. 如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）存在正实数，，当时，恰好满足，求，的值．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2），；
【解析】
【分析】（1）把点A、B坐标代入抛物线得出方程组，解方程组即可得解；
（2）求出,由二次函数的性质得当时，，当时，，再结合题意，即可得解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
∵抛物线，
．
正实数，，
．
当时，恰好满足，
∴
∴
即：．
，即．
，
抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
又，
．
将整理得：，
，
，
，
或，
解得：或不合题意舍去或，
同理：由解得：不合题意舍去或不合题意舍去或，
综上所述，，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．