河南省实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．0.5C．D．
2．（3分）下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．6，8，10B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．5，11，12
3．（3分）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝1B．C．D．＝﹣6
5．（3分）函数y＝﹣2x+1图象上有两点A（1，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
6．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标 为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2023的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32023D．0
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（ ）更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 A．
B．
C．
D．
8．（3分）平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝1，点A的坐标为（﹣2，3）（ ）
A．（﹣1，4）B．（﹣1，3）
C．（﹣3，3）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，3）或（﹣3，3）
9．（3分）如图．一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
A．16B．8C．15D．14
10．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，顶点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较两数的大小：2 3．（填“＜”或“＞”）
12．（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（1，1）（3，2），那么“马”的坐标是 ．
13．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023 ．
14．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，则CD＝ ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝6，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）+3﹣22+|1﹣|；
（2）．
17．（8分）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：
①×2，得6x﹣2y＝8…③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
18．（9分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，垂足为B，已知点C的坐标为（3，）
​（1）求AB，OC的长．
（2）请判断△OAC的形状，并说明理由．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得PB+PC值最小，并求出点P的坐标．
20．（10分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，使AB＝2，以点D为圆心，则弧与数轴的交点C表示的数是 ．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
21．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ ，b1＝ ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
22．（10分）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
23．（11分）如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放
（1）直接写出AD与BE的关系；
（2）将△DCE按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）将△DCE按如图3的位置摆放，使∠CBD＝45°，AC＝6，求BE的长．
2023-2024学年河南省实验中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．0.5C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．是无理数；
B．0.6是有限小数，故本选项不合题意；
C．是分数，故本选项不合题意；
D．，是整数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数．
2．（3分）下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．6，8，10B．0.3，0.4，0.5
C．，，D．5，11，12
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此求解即可．
【解答】解：∵62+72＝102，
∴3，8，10是勾股数；
0.2，0.4，，均不是整数；
∵22+112＝145≠124，
∴5，11，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
3．（3分）已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠4，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣5，
所以m＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．＝1B．C．D．＝﹣6
【分析】根据二次根式的加减和除法法则、二次根式的性质与化简对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、2﹣＝，不符合题意；
B、与不能计算；
C、÷＝3÷，符合题意；
D、＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
5．（3分）函数y＝﹣2x+1图象上有两点A（1，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
【分析】根据k＝﹣2＜0得出函数值y随x的增大而减小，再根据1＜3，即可比较y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵5＜3，
∴y1＞y4，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
6．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，如果图中点E的坐标 为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2023的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32023D．0
【分析】利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．
【解答】解：∵E（m，1），n）关于y轴对称，
∴m＝﹣2，n＝3，
∴（m+n）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵a＜0，
∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二，
函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答．
8．（3分）平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝1，点A的坐标为（﹣2，3）（ ）
A．（﹣1，4）B．（﹣1，3）
C．（﹣3，3）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，3）或（﹣3，3）
【分析】根据平行于横轴上的点纵坐标相等分析计算即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A点与B点纵坐标相同，横坐标之差等于其距离，
B点横坐标为﹣2+1＝﹣2，或﹣2﹣1＝﹣8，
故B点坐标为：（﹣1，3）或（﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查平行于坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
9．（3分）如图．一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA＝AB＝10米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
A．16B．8C．15D．14
【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，将教室的墙面ADEF与地面ABCD展成一个平面，
过P作PG⊥BF于G，连接PB，
在Rt△APG中，AG＝6米，
∴PG＝＝＝3（米），
在Rt△BPG中，PG＝8米，
∴PB＝＝8．
故这只蚂蚁的最短行程应该是8米．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
10．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，顶点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明EA＝EC（设EA＝EC＝x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．
【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，
∴∠ECA＝∠BAC，
∴∠ECA＝∠DAC，
设EA＝EC＝x；由题意得：
OA＝1，OC＝AB＝3；
由勾股定理得：x3＝12+（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴OE＝3﹣＝，
∴E点的坐标为（3，）．
故选：A．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较两数的大小：2 ＞ 3．（填“＜”或“＞”）
【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个正实数也大，判断出2、3的大小关系即可．
【解答】解：＝12，32＝2，
∵12＞9，
∴2＞3．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个正实数也大．
12．（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（1，1）（3，2），那么“马”的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】根据给定的坐标建立平面直角坐标系，进一步可得“马”的坐标．
【解答】解：由“帅”的坐标是（1，1），6）
那么“马”的坐标是（﹣1，2），
故答案为：（﹣5，2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，根据给定的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键．
13．（3分）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2023 2022 ．
【分析】将原方程组中的两个方程相加可得6x+6y＝6k+6，即x+y＝k+1，再将x+y＝2023代入计算即可．
【解答】解：，
①+②得，6x+6y＝6k+5，
即x+y＝k+1，
又∵x+y＝2023，
∴k+1＝2023，
解得k＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的关键．
14．（3分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣8＝，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝BC＝6，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时 2或18 ．
【分析】分两种情况：①当E点在线段DC上时，②当E点在线段DC的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，如图所示：
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'，
∵△ABE的面积＝BE×AD'＝，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵BD'＝＝＝6，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，如图所示：
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵BD''＝＝8，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝5+10＝18；
综上所知，DE的长为2或18，
故答案为：2或18．
【点评】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）+3﹣22+|1﹣|；
（2）．
【分析】（1）先进行乘方运算和去绝对值，然后把化简后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣4+
＝4﹣2；
（2）原式＝5﹣2+8﹣（3﹣2）
＝5﹣2﹣3
＝4﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
17．（8分）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：．
解：
①×2，得6x﹣2y＝8…③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 加减消元 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 四 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中．
故答案为：加减消元，四；
（2）①×2，得6x﹣5y＝8③，
②﹣③，得﹣y＝2，
解得：y＝﹣6．
将y＝﹣2代入①，得x＝．
所以，原方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解本题的关键是对解二元一次方程组的解法的掌握．
18．（9分）在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，垂足为B，已知点C的坐标为（3，）
​（1）求AB，OC的长．
（2）请判断△OAC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由题意可得OB＝3，BC＝，利用勾股定理即可求解；
（2）由勾股定理可求得OC2＝12，利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（3，），BC⊥x轴，
∴OB＝8，BC＝，
∴AB＝＝，OC＝＝；
（2）△OAC是直角三角形，理由如下：
∵OB＝3，BC＝，
∴OC7＝OB2+BC2＝5+3＝12，
由（1）得AB＝1，
∴OA＝OB+AB＝6，
∵OA2＝16，AC2＝2，
∴16＝4+12，
即OA2＝AC6+OC2，
∴△OAC是直角三角形．
【点评】本题主要考查坐标与图形，解答的关键是对勾股定理及其逆定理的掌握与运用．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在y轴上作点P，使得PB+PC值最小，并求出点P的坐标．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出AB2所在直线解析式，然后求出x＝0时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C3即为所求．
（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×3×2﹣，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求，
点B关于y轴的对称点B2坐标为（﹣2，1），
设AB2所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB2所在直线解析式为y＝x+7，
当x＝0时，y＝2，
∴点P坐标为（2，2），
根据轴对称的性质知PB＝PB2，
由两点之间线段最短知PA+PB5最小，
∴PB+PA最小．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及待定系数法求一次函数解析式．
20．（10分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
（2）应用勾股定理
①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，使AB＝2，以点D为圆心，则弧与数轴的交点C表示的数是 +1 ．
②应用场景2——解决实际问题．
如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，将它往前推2m至C处时，水平距离CD＝2m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【分析】（1）用含a、b的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；
（2）①根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可．
②设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得22+（x﹣1）2＝x2，即可得到结论．
【解答】解：（1）由图3的左图可知：，即（a+b）2＝2ab+c7，
由图3的右图可知：，即（a+b）2＝a6+2ab+b2．
∴a8+2ab+b2＝8ab+c2．
∴c2＝a4+b2．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
（2）①在Rt△DBA中，
∵，
∴，
∴点C表示的数是，
故答案为：；
②∵CF＝1.5m，BE＝5.5m，
∴DB＝1m．
设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD＝（x﹣8）m，
利用勾股定理可得22+（x﹣5）2＝x2．
解得：x＝6.5．
答：绳索AC的长为2.8m．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
21．（10分）郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y1＝k1x+b1，方案二所需费用y2＝k2x，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）k1＝ 21 ，b1＝ 3000 ；
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k1和b1的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y2＝k2x，并说明k2的实际意义；
（4）将x＝600代入y1和y2，然后比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
函数y1＝k1x+b5，过点（0，3000），7200），
则，
解得：，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7＝30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×6.9＝27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，y2＝7，
∴y2＝27x，
k2的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y2＝21x+3000，y2＝27x，
当x＝600时，
y1＝21×600+3000＝15600，y3＝27×600＝16200，
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4）一次函数图象经过点B（﹣4，﹣2），与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在；
（3）如果在y轴上存在一点Q，使△OAQ是以OA为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△ODP＝OD×|n|＝2|n|＝3，即可求解；
（3）由QO＝QA得：y2＝22+（y﹣4）2，即可求解．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，4），
∴可有4＝2m，解得m＝2，
∴A点的坐标（4，4）；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，7）和点B（﹣4，
则有，解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2；
（2）存在，理由：
设点P（m，n），
对于一次函数y＝x+4，令y＝0，
则有0＝x+6，解得x＝﹣2，
∴点D（﹣2，7），
根据题意可知：S△ODP＝OD×|n|＝，
解得n＝±3，
当n＝5时，m＝1，
当n＝﹣3时，m＝﹣7，
∴P点的坐标（1，3）或（﹣6；
（3）设点Q（0，y），
则QO＝QA，
即y2＝32+（y﹣4）8，
解得：y＝2.5，
即点Q的坐标为：（6，2.5）．
【点评】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点以及一次函数几何问题等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题．
23．（11分）如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，按如图的位置摆放
（1）直接写出AD与BE的关系；
（2）将△DCE按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）将△DCE按如图3的位置摆放，使∠CBD＝45°，AC＝6，求BE的长．
【分析】（1）如图①欲证明AD＝BE，只要证明△ACD≌△BCE即可；
（2）如图②中，设AE交BC于O．证明∠BEO＝90°，可得结论；
（3）如图③中，连接AD，首先证明∠ABD＝90°，利用勾股定理求出线段AD，再证明△ACD≌△BCE推出BE＝AD即可解决问题．
【解答】（1）解：结论：AD＝BE且AD⊥BE．
理由：如图1中，延长AD交BC一点O．
∵△ACB和△DCE为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝CE，
∴∠ACD＝∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAO＝∠OBH，
∵∠AOC＝∠BOH，
∴∠OHB＝∠ACO＝90°，
∴AD⊥BE．
（2）证明：如图2中，设AE交BC于O．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠EBO，AD＝BE，
∵∠AOC＝∠BOE，
∴∠BEO＝∠ACO＝90°，
∴AE2+BE2＝AB2，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC，
∴2AC2＝AE5+AD2；
（3）解：如图③中，连接AD，
∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，AB＝5，
∵∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∵BD＝3，AB＝8，
∴AD＝＝＝8，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
∴BE＝9．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．