2024年高考数学复习：02 幂指对三角函数值比较大小归纳（解析版）

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\l "_Tc17993" 【题型一】 临界值比较法：0、1临界1
\l "_Tc26924" 【题型二】 临界值比较：选取适当的临界值（难点）2
\l "_Tc12217" 【题型三】 差比法与商比法3
\l "_Tc30563" 【题型四】 利用对数运算分离常数5
\l "_Tc30563" 【题型五】 构造函数基础7
\l "_Tc30563" 【题型六】 构造函数综合8
\l "_Tc30563" 【题型七】 放缩（难点）10
\l "_Tc30563" 【题型八】 函数奇偶性单调性等综合应用比大小11
\l "_Tc30563" 【题型九】 三角函数值比大小13
\l "_Tc30563" 【题型十】 数值逼近14
【题型一】 临界值比较：0、1临界
【典例分析】
设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数的单调性和对数的运算可得到，；根据指数函数的单调性得到，从而可得出答案.
【详解】
因为，所以；
因为，所以；
又，所以.故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小。
【变式演练】
1.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b
【答案】A
【分析】
利用指数函数及对数函数的性质即得.
【详解】∵，，，
∴.故选：A.
2.若，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．a【答案】C
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质计算可得；
解：，，即，；
因为，所以，即，即，又，所以，即，即，故选：C
3.的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
试题分析：，而，对于
所以，故选A
【题型二】 临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】
解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律
1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间
2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值
【变式演练】
1.已知 ，，，则大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.
【详解】
，，，
因为，所以，即，
因为，，
，所以，所以，即，
所以.故选：A.
2.已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
∵ ， ∴ ，∵ ，，
∴ ，，故，所以．故选：A．
3.若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是减函数，所以，又函数在上是增函数，
所以，所以，即，，所以.故选：B.
【题型三】 差比法与商比法
【典例分析】
已知实数满足，则的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.
【详解】
；
，；
，；
，
∴，综上，.故选：C
【提分秘籍】
基本规律
一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小
作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解
【变式演练】
1.已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得可知b、c的大小，再结合指对数的性质可知a、c的大小.
【详解】
，即，
∵，∴综上，.故选：B
2.已知，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，又，，
所以，即
3.已知，则2，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】
，，∴；
又∴ ，∴.故选：D.
【题型四】 利用对数运算分离常数比大小
【典例分析】
已知m＝lg4ππ，n＝lg4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．p＜n＜mB．m＜n＜pC．n＜m＜pD．n＜p＜m
【答案】C
【分析】
根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝e，即知m，n，p的大小关系.
【详解】
由题意得，m＝lg4ππ，，
∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，
∴，而p＝e，∴n＜m＜p．故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小
【变式演练】
1.､､的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
应用对数的运算性质可得、、，进而比较大小关系.
【详解】
，，
，∵，
∴，故选：C.
2.已知，若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先化简，
再根据的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系．
【详解】
因为，
函数在和上均单调递减，
又，所以 而,
所以，即，可知最小．
由于，所以比较真数
与的大小关系.当时，，所以,
即. 综上,．
故选：D．
3.已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较的大小，分别与1和比较即可.
【详解】
，，由得，.
因为，所以，，即.
下面比较a、b的大小关系：
（其中），，所以
所以所以.故选：C.
【题型五】 构造函数：lnx/x型函数
【典例分析】
设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设，利用导数判断单调性，利用对数化简，，，再根据单调性即可比较，，的大小关系.
【详解】设，则，
当，，单调递增，当，，单调递减，
因为，，，所以最大，
又因为，，所以，所以，故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练。
【变式演练】
1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（ ）
A．a>b>cB．c>a>bC．c>b>aD．b>c>a
【答案】D对a,b,c同除6π，转化为ln22,ln33,lnππ之间的比较，构造函数fx=lnxx，利用导数研究函数的单调性，得到答案.
【详解】a6π=ln22,b6π=ln33,c6π=lnππ ∵6π>0，∴a，b，c的大小比较可以转化为ln22,ln33,lnππ的大小比较．
设fx=lnxx ，则f'x=1−lnxx2，当x=e时，f'x=0，当x>e时，f'x<0，当00
∴fx在e,+∞上单调递减，∵e<3<π<4 ∴ln33>lnππ>ln44=ln22，∴b>c>a，故选：D．
2.以下四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】由题意，令，则，所以时，，∴在上递减，
又由，∴，则，
即，故选：B．
3.下列命题为真命题的个数是( )
①ln3<3ln2； ②lnπ<πe； ③215<15； ④3eln2<42
A．1B．2C．3D．4
【答案】C本题首先可以构造函数f(x)=lnxx，然后通过导数计算出函数f(x)=lnxx的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数f(x)=lnxx的单调性即可比较出大小。
【详解】构造函数f(x)=lnxx，导数为f'(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)递增，x>e时，f'(x)<0，f(x)递减，可得当x=e时f(x)取得最大值1e。
ln3<3ln2⇔2ln3<3ln2⇔ln33lnπ<πe⇔lnππ由f163eln2<42⇔ln88<22e<1e，由f(x)的最大值为1e，故④正确，综上所述，故选C。
【题型六】 构造函数综合
【典例分析】
已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜bD．2＜b＜a
【答案】D
【分析】
先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】
.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2.故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律。
【变式演练】
1.若（），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由，可得，
令，则在上单调递增，且，，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2.已知，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】C
【分析】
令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解
【详解】
令，则当时，，当时，；
由，得考虑到得，
由，得，即故选：C
3.已知 ，，，则大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数在上是增函数，对数函数在上是增函数可得答案.
【详解】
，，，
因为，所以，即，
因为，，
，所以，所以，即，
所以.故选：A.
【题型七】 放缩（难点）
【典例分析】
若，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.
【详解】
解：由题意，，，，即，，
，而，所以，
，而，即，
又，，而，则，即，
同理，，，而，则，即，
综上得：，
【提分秘籍】
基本规律
对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数
指数和幂函数结合来放缩。
利用均值不等式等不等关系放缩
【变式演练】
1.设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
分别求出a、b、c的范围，即可得到答案.
【详解】
，即，
，即，
.所以.故选：C
2.设a=lg43，b=lg52，c=lg85，则（ ）
A．a【答案】B【详解】
即a>c>b
3.已知，，，，则下列大小关系正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可．
【详解】
。。
∴a＞d＞b＞c，故选：D
【题型八】 函数奇偶性和单调性等综合
【典例分析】
已知为R上的奇函数，，若在区间上单调递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
判断为偶函数，且在上为增函数，又，根据单调性即可判断.
【详解】
定义域为R，为奇函数，
，所以为偶函数，
又在区间上单调递减，故在上为增函数，
又，，所以，故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小。
2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小
【变式演练】
1.已知函数，若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据指数函数的单调性及对数函数的单调性确定，再由函数的单调性即可求解.
【详解】
因为，，，所以
由知，函数在上单调递增，所以故选：A
2.已知函数满足，且当时，成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用奇函数的定义得函数是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.
【详解】
解：因为函数满足，即，且在上是连续函数，所以函数是奇函数，
不妨令，则，所以是偶函数，
则，因为当时，成立，
所以在上单调递减，
又因为在上是连续函数，且是偶函数，所以在上单调递增，
则，，，
因为，，，所以，所以，故选：D.
3.已知，，当时，为增函数．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分析得出，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
，．当时，为增函数，
所以，，因此，．故选：D.
【题型九】 三角函数值比较大小
【典例分析】
三个数，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】
，．∵，，，∴．又∵在上是增函数，∴．故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
1.三角函数值比大小，主要是利用周期性，把角化到一个单调区间里
2.利用正余弦的有界性和正负值，结合函数性质，比较大小。
【变式演练】
1.已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b的大小关系，即可得解.
【详解】，所以， 构造函数，
，，所以，
，必有，，所以所以，
即所以单调递减，
所以即，所以故选：A
2.设，若，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．以上均不对
【答案】D
【分析】
设，，由题意，利用诱导公式可得，而，，可得，或，分类讨论即可求解．
【详解】
解：设，，
因为，，所以，，，
又因为，所以，而，，
因此，或，
所以（1）当时，，
，因此，
（2）当时，，，
因此：①当时，，则，
②当时，，则，
③当时，，则．
故选：D．
3.，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性判断即可.
【详解】
因为,所以,可得,
因为,所以,可得,
因为,
又因为,
由正弦函数在上的单调性知,，
即.故选:A
【题型十】 数值逼近
【典例分析】
已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先设，利用导数得到，从而得到，设，利用导数得到，从而得到和，即可得到答案.
【详解】
设，，令，解得.，，为减函数，
，，为增函数.所以，即，当且仅当时取等号.
所以.故，即.设，，令，解得.，，为增函数，，，为减函数.
所以，即，当且仅当时取等号.所以.
所以，又因为，所以.又因为，所以，即，综上.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维。
【变式演练】
1.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
对于a，b的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a，c或b，c的比较通过作差法来进行比较
【详解】
，故；，故；
，
令，（），则
因为，所以，，，故恒成立，在上单调递增，所以，故综上：故选：C
2. 设，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B.