2023-2024学年河北省石家庄联邦中学高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄联邦中学高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，计算题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角．
【详解】直线的斜率为：，
设倾斜角是，则，
可得．
故选：A．
2．在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用表示出.
【详解】因为为中点，
所以，
因为为靠近的三等分点，
所以，
所以
，
∴.
故选：A.
3．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：D.
4．在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
5．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列举法求解古典概型的概率.
【详解】从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，一共有以下情况：
，共6种情况，
其中这 2 个球的编号之和为偶数的情况有，共2种情况
故这 2 个球的编号之和为偶数的概率为.
故选：A
6．已知直线和互相平行，则实数的取值为（ ）
A．或3B．C．D．1或
【答案】B
【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.
【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，
∴
解得 m=﹣1，
故选B．
【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：
已知，
，
则，
．
7．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，分别计算出数量积及的模长，即可得出答案.
【详解】易知，，所以．
因为，所以，
故在上的投影向量为．
故选：D．
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依题意可知直线恒过定点，画出图象并根据直线与线段相交的斜率范围即可求出数的取值范围.
【详解】将直线可变形成可知，
直线恒过定点，如下图所示：
由图可知，当直线绕点从位置旋转到位置时，直线与线段相交，
此时直线斜率需满足或；
即或，解得或；
故选：C
二、多选题
9．已知向量，，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.
【详解】向量，，则，A正确；
显然，B正确；
由数量积的定义得，C错误；
显然，则，即有，D错误.
故选：AB
10．若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到.
【详解】因为直线，，不能构成三角形，
所以存在，，过与的交点三种情况.
显然，.则直线的斜率分别为，，.
当时，有，即，解得；
当时，有，即，解得；
当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为，
代入，得，解得．
综上：或或．
故选：ABD．
11．给出以下命题，其中错误的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面､的法向量分别为，，则
D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由可得A正确；对于B，由与不平行可得B不正确；对于C，由与不平行可得C不正确；对于D，根据可得D不正确.
【详解】对于选项A：因为，
则，所以与垂直，故A正确；
对于选项B：显然与不平行，所以与平面不垂直，故B错误；
对于选项C：显然与不平行，所以与不平行，故C错误；
对于选项D：因为，，
且向量是平面的法向量，
则，即，
解得，所以，故D错误.
故选：BCD.
12．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为D．直线与平面的距离为
【答案】BCD
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．直线l经过点且一个方向向量为，则直线l的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再应用点斜式求出直线方程最后化简为一般式即可.
【详解】由直线方程一个法向量为，所以直线的斜率为，
点斜式得l的方程，即
故答案为：
14．若直线与直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】根据直线垂直列方程，从而求得的值.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得．
故答案为：
15．已知，则 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值.
【详解】由.
由，则，故，
所以.
故答案为：
16．在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先求得、的等量关系，然后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】依题意，，，
、、三点共线，，
，
当且仅当，，时，即时等号成立.
故答案为：.

四、解答题
17．已知直线l过定点
(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.
(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.
【详解】（1）直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，
所以直线l的方程是：.
（2）因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，
当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，
所以直线l的方程为：或.
18．已知平面上的直线，.
（1）直线恒过定点的坐标；
（2）直线与轴负半轴和轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求的值.
【答案】（1）；（2）1或.
【解析】（1）由，可得，可得直线必过直线，的交点；
（2）令，得；令，得，三角形的面积为，解得的值．
【详解】（1）由，可得
直线必过直线，的交点
（2）设直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
则
令，得；令，得
三角形的面积为
即，解得或．
19．在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
20．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生的身高的中位数和众数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
【答案】(1)；
(2)中位数为，众数为；
(3).
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
（2）根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
（3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】（1）第六组的频率为，
故第七组的频率为
（2）由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于
设这所学校的800名男生的身高中位数为，则
由于得
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为，
众数为 .
（3）第六组的人数为，设为，
第八组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生有共有15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况.
所以.
五、计算题
21．已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)锐角中，，且，求取值范围．
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.
【详解】（1），
所以的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，
，
，
，
.
六、解答题
22．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若对任意，，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）根据条件，列出不等式即可得到结果；
（2）根据条件，结合函数奇偶性的定义即可得到结果；
（3）根据条件，结合换元法，以及函数的单调，转化为最值问题，即可得到结果.
【详解】（1）∵，∴，解得，∴的定义域为.
（2）∵定义域关于原点对称，且，∴函数为奇函数.
（3）设，，∵在上单调递增，在上单调递增，
∴由复合函数的单调性知，在上单调递增，∴在上单调递增，
∴在上的最大值为.
要使对任意，恒成立，只需，即，
恒成立.令，则，解得或，
故实数的取值范围是.