2023-2024学年河北省石家庄一中高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄一中高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求集合B，利用交集的概念计算即可.
【详解】由，故，所以，
故选：B．
2．已知直线的倾斜角为，则其斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】斜率
故选：D
3．在复平面内，虚部为-1的复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据，利用复数相等求解.
【详解】设，由题意可得，
即，
所以，
解得，
∴
故选：A．
4．已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.
【详解】矩形中，,所以.

因为，所以.
因为,，所以.
所以.
所以，所以.
故选：A
5．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图象过代入解析式即可求得结果.
【详解】观察图象得过点，代入得，而，故.
故选：D
6．抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据和事件的概率的求法求得正确答案.
【详解】事件表示“两个点数之和等于或至少有一个骰子的点数为”.
基本事件的总数为，
事件包含的基本事件为：，
，共种，
所以事件的概率是.
故选：C
7．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．在三棱锥中，，，若，分别是，的中点，则与所成角的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【分析】在长方体中构造三棱锥，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
如图，在长方体中构造三棱锥，其中，
则有，，
以点为原点建立如图空间直角坐标系，则，
所以，所以，，
所以，所以，
所以与所成角的度数是，
故选：B.
二、多选题
9．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式以及基本不等式的变形一一判断各选项，可得答案.
【详解】由已知，，且，
则，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，A正确；
由于，，且，则，
当且仅当时取等号，B错误；
由以上分析可得，
当且仅当时取等号，故成立，C正确；
由A的分析可得，
当且仅当时取等号，D正确，
故选：
10．（多选）若直线与直线垂直，则实数的值可能为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】BC
【分析】根据两直线垂直，列出方程即可得到结果.
【详解】由题意得，即.
解得或.
故选：BC.
11．已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．三棱锥的体积为D．直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】利用线面平行的判定推理判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B；计算三棱锥的体积判断C；利用空间向量求夹角判断D作答.
【详解】如图所示，
依题意，，平面，平面，则平面，A正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，则，，，
因此，，则，，
即是平面的一个法向量，所以平面，B正确；
三棱锥的体积为，C错误；
由B选项知，，，即，，
于是，，
所以直线与所成的角为，D正确．
故选：ABD
12．已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.
【详解】A：由，则，正确；
B：由，则，正确；
C：如果A与B相互独立，则，
，错误；
D：由C分析及事件关系知：，正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．甲同学最近几次的数学考试成绩情况如下：，则甲得分的第75百分位数为 .
【答案】
【分析】将成绩数据重新排列求出第75百分位数所在位置即可得出结果.
【详解】将考试成绩从小到大重新排列如下：
79、83、86、88、93、98、、98、99、101、103、114，共11个数据，
因为，所以甲得分的第75百分位数为重新排列的第9个数，即为101.
故答案为：
14．若空间向量共面，则实数 .
【答案】1
【分析】因为三个向量共面，由平面向量的基本定理可知，然后计算即可.
【详解】由题可知，，故，有，解得
故答案为：1
15．已知直线，，的斜率分别是，，，其中，且，是方程的两根，则的值为 ．
【答案】或
【分析】解方程进而求出，，由，可得，进而可求出的值.
【详解】因为，是方程的两根，所以或，
又，所以，
所以或．
故答案为：或
16．正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】由已知可得两两垂直，设.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，通过向量求出平面的一个法向量，进而通过向量即可求出结果.
【详解】由已知可得，两两垂直，且.
设，由已知可得，，.
如图，连结.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，.
设是平面的一个法向量，
则，则，取，则.
所以，
与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的顶点，，直线的斜率为．
(1)求过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)求角B的角平分线所在直线方程．
【答案】(1)或；
(2)或．
【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况，根据截距相等得到直线方程为，代入点得到直线方程.
（2）考虑点C位于直线下方和上方两种情况，计算倾斜角得到斜率，得到直线方程.
【详解】（1）①当所求直线过原点时，设直线方程为，直线过点A，，故方程为；
②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，
所以设所求直线方程为，因为直线过点A，所以，解得，
所以所求直线方程为；
综上，满足条件的直线方程为或；
（2）因为的顶点，，直线的斜率为，
所以直线方程为，直线的倾斜角为，
①当点C位于直线下方时，，设此时其角平分线为，
则角平分线的倾斜角为，其斜率为，
所以角平分线方程为，即；
②当点C位于直线上方时，，
设此时其角平分线为，则角平分线的倾斜角为，其斜率为，
所以角平分线方程为，即；
所以角B的角平分线所在直线的一般式方程为或．
18．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且三角形的外接圆面积为，三角形的面积为．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面积公式及余弦定理求出，即可得解；
（2）先求出外接圆半径，然后利用正弦定理求出，的关系式，然后利用辅助角公式化简，由三角形为锐角三角形求出的范围，根据正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）因为三角形的外接圆面积为，设外接圆半径为，则，所以（负值舍去），
由正弦定理可得，
所以，，
则
，
又三角形为锐角三角形，则，且，
解得，所以，
则，所以．
五、问答题
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，且平面平面ABCD，．
(1)求证：；
(2)PB与平面ABCD所成的角为，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由线面垂直的性质证明线线平行，先证BD⊥平面PAD即可.
(2)用向量法求两平面所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：取AB的中点E，连接CE，
则由题意知△BCE为正三角形，所以∠ABC=60∘，由等腰梯形知∠BCD=120∘，
设AD=CD=BC=2，则AB=4，，故AD2+BD2=AB2，即得∠ADB=90∘，
所以AD⊥BD，因为平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
PD⊂平面PAD，所以PD⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，因为AD∩PD=D，
AD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD，因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.
（2）由(1)得DA，DB，DP两两垂直，则以D为坐标原点，
DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为PD⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBD=30°，
设AD=CD=BC=2，则，PD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，，，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则，即，取，则，
设平面PBC的法向量为，则，即，
取，则，所以，
所以平面PAB与平面PBC的余弦值为.
六、解答题
20．一名大学生尝试开家“网店”销售一种学习用品,经测算每售出1盒该产品可获利30元,未售出的商品每盒亏损10元.根据统计资料,得到该商品的月需求量的频率分布直方图如图所示,该同学为此购进180盒该产品,以x(单位:盒,100≤x≤200)表示一个月内的市场需求量,y(单位:元)表示一个月内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数;
(2)将y表示为x的函数;
(3)根据直方图估计这个月利润不少于3 800元的概率(用频率近似概率).
【答案】(1)153；
(2)；
(3)0.7.
【分析】（1）平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，进而求得答案；
（2）由每售出1盒盖产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元，分，两种情况进行分类讨论，能将表示为的函数；
（3）由利润不少于3800元，得到，由此能求出利润不少于3800元的概率．
【详解】（1）由频率分布直方图得:
需求量在[100,120)内的频率为0.005×20=0.1,
需求量在[120,140)内的频率为0.01×20=0.2,
需求量在[140,160)内的频率为0.015×20=0.3,
需求量在[160,180)内的频率为0.012 5×20=0.25,
需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20=0.15,
∴根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数为=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.
（2）∵每售出1盒该产品获利30元,未售出的商品每盒亏损10元,
∴当100≤x<180时,y=30x-10(180-x)=40x-1 800;当180≤x≤200时,y=30×180=5 400.
∴
（3）∵利润不少于3 800元，∴40x-1 800≥3 800，∴x≥140，
∴由（1）知利润不少于3 800元的概率为1-0.1-0.2=0.7.
21．甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以分获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.
（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”，
由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故.
（2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，
设事件为“乙最终以分获胜”．
若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：
（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），
（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
故.
22．在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．

(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)求点A到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到异面直线的夹角；
（2）利用点到平面距离的向量公式进行求解.
【详解】（1）过点D做交于O，连接，
以O点为原点，以为x轴，在平面内，过点O垂直于的线为y轴，
过点O垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

因为，所以，
所以为二面角的平面角．所以，
又因为，所以点，
又因为，，由等边三角形可得，
所以，，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
（2），，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，
故，
所以点A到平面的距离为．