2023-2024学年河南省信阳市商城县上石桥高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省信阳市商城县上石桥高级中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算可求解.
【详解】因为,所以,即,解得,
故选:A.
2．抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与为互斥事件B．
C．与为相互独立事件D．与互为对立事件
【答案】C
【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可.
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；
事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；
，B错误.
故选：C.
3．为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故选：C.
4．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
5．已知圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心的坐标，设的中点为，由垂径定理可得，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
设的中点为，由垂径定理可知，
所以直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
6．在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成角的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正四面体的结构特征，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，正四面体共有6条棱，其中任取两条，共有种取法，
其中在正四面体中，只有与，与，与，三组互相垂直，
其余任意两条棱夹角都为，所以这两条棱所在直线成的概率.
故选：D.
7．已知点，，若直线l：与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，再利用直线的斜率公式即可求解.
【详解】由，得，
所以直线l的方程恒过定点.
因为，，
所以，.
由题意可知，作出图形如图所示

由图象可知，或，解得或，
所以实数m的取值范围为.
故选：D.
8．在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线方程为，经过点且法向量为的平面方程为，已知：在空间直角坐标系中，经过点的直线方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得直线的方向向量与平面的法向量，进而可得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】经过点的直线方程为，即，
故直线的一个方向向量为，
又经过点的平面的方程为，即，故的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则.
故选：A
二、多选题
9．判断下列命题正确的是（ ）
A．方程表示圆心为，半径为的圆
B．若表示圆的一般方程，则的取值范围是
C．已知直线和直线垂直，则实数的值为
D．已知圆的方程为，过点作该圆的切线，只有两条
【答案】BCD
【分析】根据圆的标准方程的形式，可判定A错误；根据圆的一般方程的条件，列出不等式，可判定B正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，可判定C正确；根据点在圆外，结合圆的性质，可判定D正确.
【详解】对于A中，方程，
当时，方程表示圆心为，半径为的圆；
当时，方程表示点，所以A错误；
对于B中，若表示圆的一般方程，
则满足，即，
解得，所以B正确；
对于C中，由直线和直线垂直，
则，解得，所以C正确；
对于D中，由，可得点在圆外，所以过点作该圆的切线，只有两条，所以D正确.
故选：BCD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．过两点的直线方程为
D．已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
【答案】ABD
【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C错误；根据题意，求得直线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，令，可得，令，可得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以A正确；
对于B中，设关于直线对称点坐标为，
则，解得，所以B正确；
对于C中，直线的两点式使用的前提是，所以C错误；
对于D中，以向量为方向向量的直线的斜率，
则过点的直线的方程为，即，
则点到直线的距离，所以D正确．
故选：ABD．
11．已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．，夹角的余弦值为
C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
12．如图，四棱锥中，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．到平面的距离为
D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
【答案】BCD
【分析】取的中点O，的中点E，可证得平面，从而两两垂直，以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量可判断A；求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解可判断B；利用点到面的距离的向量公式求解可判断C；将四棱锥外接球的内接正四面体补成正方体，根据正方体的对角线为球的直径求解可判断D．
【详解】A选项：取的中点O，的中点E，连接，
因为三角形为等边三角形，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以两两垂直，
所以，如图，以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，则
因为点Q是的中点，所以
设平面的一个法向量为
，显然与不共线，
所以与平面不垂直，所以A不正确，
B选项，，，，
设平面的法向量为，
，
令，则，所以
设与平面所成角为，则，
所以，所以B正确；
C选项：平面的法向量为，，
则到平面的距离为，所以C正确；
D选项：设四棱锥外接球的球心为，则，
所以，
解得，即为矩形对角线的交点，
所以四棱锥外接球的半径为3，
设四棱锥外接球的内接正四面体为，棱长为，
将正四面体补成正方体，其中正四面体的棱为正方体面的对角线，

故正方体的棱长为，因为正方体的对角线为球的直径，
所以，得，
所以正四面体的表面积为，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可．
【详解】由题意，，，故，所以点到平面的距离为．
故答案为：
14．已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】36
【分析】先求出的圆心和半径，从几何意义求解的最大值，即圆心与点距离加上半径的平方，从而求出最终结果.
【详解】实数满足，即表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故的最大值为．
故答案为：36
15．线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ．
【答案】
【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.
【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,
设关于直线的对称点，，解得；
由反射光线性质知
所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
.
故答案为：.
16．如图所示，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点在线段上运动，记，则当 时，点到直线的距离有最小值.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设点N是AC上的一点，且，得出点A、C、M、N的坐标，由时，就是点到直线的距离，根据二次函数的性质可求得答案.
【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，正方形的边长为1，则，，
设点N是AC上的一点，且，因为，所以，，
所以，，
当时，就是点到直线的距离，
所以，即，整理得，即，
所以
，
所以当时，取得最小值，即此时点到直线的距离有最小值．
故答案为:.
四、解答题
17．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
【答案】(1)甲获得录取的可能性大；
(2).
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲､乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.
（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.
【详解】（1）记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则
，，即，
所以甲获得录取的可能性大.
（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.
18．已知过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】面积的最小值为8，方程为
【分析】设直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，从而求出三角形面积的最小值，即可得解.
【详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为零，且直线不过原点，
可设直线的方程为，
因为直线过，所以，而，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以面积的最小值为，此时直线的方程为，即.
19．如图，正方体ABCD—的棱长为2，P、Q分别为BD、的中点.
(1)证明：PQ平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；
（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
可得，平面的法向量，
∵，且平面，
∴PQ平面.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
∵，
故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为.
20．已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点和．
(1)求圆C的标准方程：
(2)若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据题意求圆心与半径，然后写出标准方程
（2）待定系数法设直线方程，根据弦长公式解出参数
【详解】（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，
∴圆心为，圆的半径为，
综上，圆C的标准方程：.
（2）∵，
∴在圆外，当直线l斜率不存在时，直线方程为，
则，，显然符合题设；
当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：，
若，，则，，
∴，可得：.
∴此时，直线l：，即.
综上，符合条件的直线有2条，分别为，.
21．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球3次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）依题意甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，第三次取球甲取到的是白球，即可求出概率；
（2）依题意甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，再根据互斥事件的概率公式计算可得；
【详解】解：（1）设事件A为“取球3次即终止”.即甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，
所以
．
【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．属于中档题.
22．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且.
(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值；
（2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围.
【详解】（1）因为，则，即，
又因为平面，所以，
故建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
（2）设，则，故，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，故，
易得平面的一个法向量为，又，
设直线与平面所成角为，则，
即，解得，
设平面与平面的夹角为，则，
因为，所以，则，故，即.
所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为.