2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期10月学情检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期10月学情检测数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，计算题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.
【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；
当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.
故选：B.

2．圆关于直线对称的圆是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程.
【详解】圆圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，
则，解得，
所以点关于直线对称的点为，
所以圆关于直线对称的圆是.
故选：D.
3．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．4
【答案】A
【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为，则，即，
∴点M在直线上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.
故选：A.
4．设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】C
【分析】先画图，再根据图像把长度关系转化为垂直关系即可.
【详解】如图所示，为中点，故，
又
所以中，，
于是，
故，即
所以，解得.
故选：C.
5．已知圆，若点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切线特点先得到四点共圆，再得到为两个圆的公共弦，得到公共弦方程，最后分离参数得到过定点.
【详解】因为过点作圆的两条切线，所以，
所以四点共圆且直径为，
不妨令，因为，所以中点坐标为，
，则圆，
所以既在圆上，也在圆上，所以直线为两个圆的公共弦，
将两个圆作差可得直线，
即，令，解得，
所以过定点，
故选：C
6．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.
【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，
设，其中且，
直线的方程为，纵截距为，
直线的方程为，纵截距为，
依题意有，整理得，
所以在圆上，圆心为，半径为.
则圆与圆有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，
当两圆外切或内切时：
圆的圆心为，半径为，
则或，
前者无解，后者解得.
当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，
，将代入，
得.

综上所述，的值为或.
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
7．已知圆的方程为，直线：恒过定点A.若一条光线从点A射出，经直线上一点M反射后到达圆C上的一点N，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】先求得定点A的坐标，再去求点关于直线的对称点的坐标，再去求点到圆上一点N距离的最小值即为的最小值.
【详解】圆的圆心，半径
直线可化为，
令，解得，所以定点A的坐标为.
设点关于直线的对称点为，
由，解得，所以点B坐标为.
由线段垂直平分线的性质可知，，
所以
（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），
所以的最小值为6.
故选：A
8．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，，
当的坐标为时，，
由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为.
【详解】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为时，，
在△NAB中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为，
故选：D
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．直线在y轴上的截距为3
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
D．点关于直线的对称点是
【答案】ABC
【分析】对A，截距是直线与轴的交点纵坐标；对B，当直线与轴垂直时，不能用斜截式表示；对C，先根据平行求出参数，再用平行线间的距离公式求出距离可判断；对D，两点关于一条直线对称，说明这条直线是这两点连线的中垂线.
【详解】A：直线在y轴上的截距：令，A错误；
B：与轴垂直的直线没有斜率，表示不了B错误；
C：直线与直线平行，则，则可化为，，C错误；
D：过点的直线斜率为，又得斜率为，斜率之积为，故两直线垂直；又点的中点为，中点在上，故是点的对称轴，D对.
故选：ABC
10．已知经过点的圆C的圆心坐标为 (t为整数)，且与直线l： 相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆C的标准方程为
B．若，则实数a的值为
C．若，则直线m的方程为或
D．弦AB的中点M的轨迹方程为
【答案】BC
【分析】对于A，设圆C的半径为r，由题意得出圆C的方程，即可根据已知点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，列方程组解出t，r的值，即可得出圆C的标准方程；
对于B，根据已知与得出线段AB为圆C的直径，即可根据直线m与圆C相交于A、B两点，得出圆心C在直线m上，代入求解即可得出a的值；
对于C，利用点到直线距离公式得出圆心C到直线m的距离d的式子，根据弦长结合勾股定理得出d的值，即可列式得出a，即可得出直线m的方程；
对于D，转化直线m的方程得出直线m过定点，根据圆的性质可得，即可根据圆的性质得出点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，即可得出该圆的方程，注意此方程是有范围的，根据两圆的交点坐标得出范围，即可判断.
【详解】对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为(t为整数)，
根据点是圆C上的点，且圆C与直线l： 相切，
得，解得，或（舍去），
则圆C的标准方程为，故A错误；
对于B，由选项A知圆C的标准方程为，圆心，
点在圆C上，且，
线段AB为圆C的直径，
直线m：与圆C相交于A、B两点，
圆心在直线m上，
，解得，故B正确；
对于C，由选项A知圆C的半径为2，圆心，
则圆心C到直线m的距离，
，即，解得，
，整理得，解得或，
则直线m的方程为或，故C正确；
对于D，直线m的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
由，得两圆的交点坐标为与，
故弦AB的中点M的轨迹方程为，，故D错误；
故选：BC.
11．已知点P是坐标平面xOy内一点，若在圆O：上存在A，B两点，使得（其中k为常数，且），则称点P为圆O的“k倍分点”，则（ ）
A．点不是圆O的“3倍分点”
B．在直线：上，圆O的“倍分点”的轨迹长度为
C．在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”
D．若点P是圆O的“1倍分点”，则点P也是圆O的“2倍分点”
【答案】BCD
【分析】根据圆O的“k倍分点”的定义，得到各线段的关系，进而表示各线段的长度，然后在三角形中利用余弦定理求解判断.
【详解】A.如图所示：

若点是圆O的“3倍分点，则，设，，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则，解得，故点是圆O的“3倍分点”，故错误；
B. 如图所示：

过点O作弦AB的垂线OD，当点P在直线：上，P是圆O的“倍分点”，则，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，因为的斜边上的高为，
所以当P在直线l上时， ，所以 ，又因为直线l的方程为 ，所以，故正确；
C.如图所示：

在圆D：上取一点P，若点P是圆O的“2倍分点”，则有，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，即 ，综上： ，
所以在圆D：上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”，故正确；
D. 如图所示：

设，若点P是圆O的“1倍分点”，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则 ，解得，
此时点P是圆O的“1倍分点”，当点A，B互换位置时，点P是圆O的“2倍分点”，故正确,
故选：BCD
12．在平面直角坐标系中，已知动圆（），则下列说法正确的是（ ）
A．存在圆经过原点
B．存在圆，其所有点均在第一象限
C．存在定直线，被圆截得的弦长为定值
D．所有动圆仅存在唯一一条公切线
【答案】AB
【分析】对于A选项：将代入圆方程，求得，即可判断；
对于B选项：根据圆所有点均在第一象限得到，即可判断；
对于C选项：当定直线的斜率存在，设直线：，当定直线的斜率不存在，设直线，由垂径定理和勾股定理得到弦长，要使弦长为定值，则弦长与无关，得到关于和的方程组，即可求解；
对于D选项：求出所有动圆的公切线，即可求解.
【详解】对于A选项：若圆经过原点，则，
化简得：，解得：，
所以当时，圆经过原点，所以A选项正确；
对于B选项：由题意得圆的圆心，半径（），
若圆上的所有点均在第一象限，则，解得：，
即且，所以当时，圆上的所有点均在第一象限，所以B选项正确；
对于C选项：当定直线的斜率存在，
设存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，
则圆心到直线的距离，
则弦长
即，
要使弦长为定值，则弦长与无关，
所以，解得：，
此时弦长，
不存在定直线：，被圆截得的弦长为定值，
当定直线的斜率不存在，设直线，则圆心到直线的距离，
所以弦长，
要使弦长为定值，则弦长与无关，
即，此时弦长，
综上：不存在定直线，被圆截得的弦长为定值，
所以C选项错误；
对于D选项：若所有动圆存在公切线，当切线斜率不存在时，满足题意；
切线斜率存在时，且圆心到它的距离等于半径，结合C选项的证明可得：，即，
化简得：，
若所有动圆存在公切线，则上式对恒成立，
则，解得：，
此时，
综上：所有动圆存在公切线，其方程为或，所以D选项不正确，
故选：AB.
三、填空题
13．若直线l：与曲线C：有两个交点，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解.
【详解】因为，可得，且，
所以曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，
直线l：过定点，斜率为，如图所示：

当直线l过时，可得；
当直线l：与曲线C相切，则，解得；
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
14．已知函数，若集合，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，，利用同角的三角函数的基本关系式化简可得，利用线段差的几何意义可得实数的取值范围.
【详解】，
设，，，
则，
如图，
，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
又，故的最大值为.
因为集合，故，故.
故答案为：.
【点睛】本题考虑无理函数的最值，对于无理函数的最值问题，首选方法是利用导数求其单调性，其次可利用几何意义来求最值，本题属于难题.
15．已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据圆的对称性，不妨取，确定是圆的直径，得到，再利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】如图所示：根据圆的对称性，不妨取，圆心，半径，
则，则过点，即是圆的直径，，
，
则，
当且仅当时等号成立，周长的最大值为.
故答案为：.
16．已知直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：(x－2)2＋y2＝2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为 ．
【答案】
【解析】由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，由圆与圆相切，可得在以为焦点的椭圆上，从而可得其轨迹方程，在直线l上，联立可求得坐标，最后可得点坐标．
【详解】由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，
所以圆D与圆C相切．
由题意得A(－2，0)，C(2，0)．
若圆D与圆C外切，则DC－DA＝；
若圆D与圆C内切，则DA－DC＝.
所以圆心D在以A，C为焦点的双曲线上，
即14x2－2y2＝7.又点D在直线l上，
由得12x2－8x－15＝0，
解得xD＝或xD＝－.
所以xP＝2xD－xA＝2xD＋2＝5或xP＝.
故答案为：
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，解题关键是由由AB⊥BP，得点B在以AP为直径的圆D上，由圆D与圆C相切，得D在以A，C为焦点的双曲线上，注意双曲线的定义．
四、解答题
17．在△ABC中，，，.
(1)求BC边的高线所在的直线的方程；
(2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B､C到l的距离之比为1：2，求D的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求直线BC的斜率，根据垂直关系可得高线所在的直线斜率，进而可得结果；
（2）先求直线的方程，分类讨论直线l的斜率是否存在，利用点到直线的距离公式可得直线l的方程，进而可求交点坐标.
【详解】（1）由题意可知：直线BC的斜率为，则BC边的高线所在的直线斜率为，
所以BC边的高线所在的直线方程为，即.
（2）由（1）可知直线的方程为：，即，
若直线l的斜率不存在，则直线l：，
可知B､C到l的距离分别为，不合题意；
若直线l的斜率存在，设为，则直线l：，即，
由题意可得：，即或，
当，则直线l：，
联立方程，解得，即；
当，则直线l：，
联立方程，解得，即；
综上所述：D的坐标为或.
18．矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆E的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线垂直得到直线AD的斜率，进而利用点斜式写出AD边所在直线的方程；
（2）求出点坐标，且外接圆圆心为，从而写出矩形外接圆的方程.
【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3
又因为点在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为，即；
（2）由，解得：，故点A的坐标为，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为，
所以点M为矩形ABCD外接圆圆心．
又因为，
从而矩形ABCD外接圆E的方程为.
五、问答题
19．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为.
(1)求的轨迹方程；
(2)若为的轨迹上的任意一点，求的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为最小值为
【分析】（1）根据中点坐标公式即可代入求解，
（2）利用三角换元法，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）设，由中点坐标公式可得，
由于在圆上运动，所以，
即的轨迹方程为
（2）由于为上一点，所以设，
故，因此，
由于故，
进而，所以,
故最大值为最小值为
六、计算题
20．在平面直角坐标系中，直线交轴于，以为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围；
(3)是否存在定点S，对于经过点S的直线，当与圆交于时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）先利用点到直线的距离公式求出半径，从而求得圆的方程；
（2）考虑临界情况，只要当直线与圆相切时，就满足题意；
（3）当直线斜率存在时，设出方程，然后与圆的方程联立，然后利用给定条件结合韦达定理求出的关系即得；再讨论斜率不存在时的情况即可作答.
【详解】（1）因为以为圆心的圆与直线相切，
所以圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）如图，直线与圆相切，设，则，
由题意知当时满足题意，
所以由，得，
由于，所以由距离公式得，解得，
所以的取值范围为.
（3）直线交轴于，
当直线的斜率存在时，设，
设与圆的交点，，
根据题意只需，即，
把，代入化简得，①
联立消去得，
，所以，
由韦达定理得，
代入①式得，
化简得，即，
所以，恒过点，
当直线的斜率不存在时，过点的直线显然存在满足题意，
故满足题意的点S的坐标为.
七、解答题
21．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
(1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值；
(2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值；
（2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标；
（3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围．
【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得或，
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，；
当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去；
故所求为；
（3）由题意可设即，即，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
所以，故即，
所以.
【点睛】方法点睛:“新定义"主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说"新题"不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
八、证明题
22．已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线n交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出该定点坐标.
(3)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.
（2）在直线n的斜率存在时，设其方程，再与圆C的方程联立，借助韦达定
理及已知探求k，t的关系，然后讨论斜率不存在的情况作答.
（3）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.
【详解】（1）依题意，圆C的半径，
所以圆C的标准方程是：.
（2）当直线n的斜率不存在时，设，由直线AM，AN的斜率之积为2，得，
即，又由点M，N在圆C上得，消去b得：，
而，则，此时，因此，无解，
当直线n的斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：
，设，
则，，直线斜率，直线斜率，
则
，整理得，此时直线n：过定点，
所以直线n过一个定点，该定点坐标是.
（3）设直线方程为：，由消去y并整理得：，
则有点，而直线：，同理，
于是得直线的斜率，
所以直线m的斜率是定值，该定值为.
【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方程联立，
借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.