2024天津市五区重点校联考高三上学期期中考试数学含答案

这是一份2024天津市五区重点校联考高三上学期期中考试数学含答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题学校：静海一中 外院附中
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则=
A．B．
C．D．
2．已知在△ABC中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知4a = 5，lg8 9 = b，则22a-3b =
A． B．5C．D．25
4．已知x = 1.20.9，y = 1.10.8，z=lg1.20.9，则
A．x>z>yB．y>x>z
C．y>z>xD．x>y>z
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，
形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图
象来研究函数的性质，已知函数的部分
图象如图所示.则的解析式可能是
A．B．
C．D．
6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且AB = 2EF = 2BC = 8，EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为
A．
B．3
D．
7．函数fx=Asinωx+φω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，则
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移7π8个单位后得到的是一个奇函数的图象
8．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
9．已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是
A．−∞,−113∪[−3,−22) B．(−113,−22
C．−∞,−113∪(−113,−22 D．[−3,−22)
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）
10．复数在复平面内对应的点为，则3i+1z−1的共轭复数的模为________
11．在中，内角所对的边分别为.已知，，，则的面积为________.
12．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________
13．在等比数列中，，是函数的两个不同极值点，则________．
14．设x>0，y>0，当________时,取最大值，最大值为________.
15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在CD上（包含端点），则的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若fθ2=−35，θ∈−π6,5π6，求sin(θ−5π6)的值．
17．（本小题满分15分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求角B的大小；
（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
18．（本小题满分15分）
在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；
（3）求点到PD的距离.
19．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和Sn=n2+n2，数列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设数列的前项和为Tn，且cn=−1n2an+1(an+1)lg2bn−1 ,求Tn
（3）设数列dn满足：dn=an+1an2an+22,n为奇数a2nbn,n为偶数．证明：．
20．（本小题满分16分）
已知函数fx=lnx+a+1x+1，..
（1）若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）当时，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
（3）若∀x∈0,+∞，不等式恒成立，求实数a的取值范围.2023～2024学年度第一学期期中重点校联考
高三数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）
1-5 C B A D C 6-9 A B D A
二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，14题前空3分，后空2分）
10．5 11．522 12． 14
13．−3 14．14 ， 216 15．−372,−272
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本小题满分14分）
（1）解：由
， …………3分
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得， …………5分
令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，，
解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，，
即的单调递增区间为[5π12+kπ,11π12+kπ]，. …………8分
（2）解：由，可得f(θ2)=sin(2×θ2−π3)=sin(θ−π3)=−35，
因为θ∈−π6,5π6，可得，所以cs(θ−π3)=45，
…………11分
所以sin（θ−5π6）=sinθ−π3−π2=−csθ−π3=−45.
…………14分
（注：丢掉扣1分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）根据正弦定理得
3sinB=2sinAsinBcsC+2sinCsinBcsA，
…………1分
即3sinB=2sinBsinAcsC+sinCcsA=2sinBsinA+C，
因为sinB>0，所以sinA+C=32，
sinB=sinA+C=32，且△ABC为锐角三角形， …………4分
所以B=π3； …………5分
（2）（i）在△ABC中，由余弦定理及，，，
有，故. …………8分
（ii）由asinA=bsinB，可得. …………9分
∵，故， …………10分
则，
…………12分
， …………14分
∴. …………15分
18．（本小题满分15分）
解：（1）方法一：
如图，取中点，连接

因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以， …………2分
又平面，平面，所以平面， …………3分
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面， …………4分
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面． …………5分
方法二
根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，A0,0,0,P0,0,2,B2,0,0,D0,2,0,E2,1,0，M1,2,1，则 …………2分
（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）

DM=1,0,−1
由题意得，平面PAD的一个法向量m=0,1,0 …………3分
DM⋅m=0，所以DM⊥m， …………4分
又因为DM⊄平面,所以平面． …………5分
（2）PB=2,0,−2,PD=0,2,−2,PE=2,1,−2， …………6分
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
…………8分
设直线PB与平面所成角为，
则sinθ=cs=PB⋅nPB⋅n=2−422×3=26. …………10分
所以直线PB与平面所成角的正弦值为. …………11分
（设角和作答具备其一即可，均不写扣一分）
（3）由（2）可知，， …………12分
设点到PD的距离为d
d=PE2−PE⋅PDPD2=9−6222=322.
所以点到PD的距离为322 …………15分
19．（本小题满分15分）
解：（1）由，得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列， …………3分
即． …………4分
（2）当时，有a1=S1=1，
当n≥2时，an=sn−sn−1=n2+n2−n−12+n−12=n， …………5分
可得时，a1=1，可得an=n， …………6 分
cn=−1n2n+1n(n+1)=−1n1n+1n+1 …………7分
Tn=−1−12+12+13−13−14+⋯+−1n1n+−1n1n+1=−1+−1n1n+1
…………9分
（3）当n为奇数时，dn=n+1n2(n+2)2=141n2−1(n+2)2， …………10分
d1+d3+d5+…+d2n−1=141−132+132−152+⋅⋅⋅+1(2n−1)2−1(2n+1)2
， …………11分
当n为偶数时，dn=2n2n+1<2n2n， …………12分
d2+d4+d6+⋅⋅⋅+d2n<422+824+⋅⋅⋅+4n22n=140+241+⋅⋅⋅+n4n−1，
设，
，
两式相减得
得， …………14分
所以c2+c4+c6+⋅⋅⋅+c2n<169，
所以． …………15分
20．（本小题满分16分）
解：（1）因为f'x=1x+a+1
所以f'1=1+a+1=3,即a=1。 …………3分
（2）gx−m+2=0，即gx=m−2
g'x=x+1ex …………4分
当x>−1时，g'x>0，所以gx在−1,+∞单调递增；
当−2≤x<−1时，g'x<0，所以gx在−∞,−1单调递减；…6分
gxmin=g−1=−1ⅇ, g−2=−2ⅇ2，g0=0； …………8分
所以m−2∈−1ⅇ,−2ⅇ2,即 m∈−1ⅇ+2,−2ⅇ2+2 …………9分
（3）因为g'x−f(x)≥ⅇx对恒成立，
即对恒成立. …………10分
设，其中，
所以， …………11分
， …………12分
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得， …………13分
当时，g'x<0，函数单调递减，当时，，数函 单调递增，所以.
因为，则，
由（2）得gx=xex，当时， 在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得， …………15分
所以，所以.
所以实数a的取值范围为. …………16分
（注：其他方法平行给分）