2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高二上学期10月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高二上学期10月联考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知点，点，则向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的坐标运算即可得解.
【详解】解：∵设，，则，
∴.
故选：D.
2．已知空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据空间坐标系的对称性得到答案.
【详解】空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是.
故选：A.
3．已知向量，，且，那么实数（ ）
A．3B．C．9D．
【答案】A
【分析】根据向量平行得到，得到方程组，解得答案.
【详解】，则，即，解得，故.
故选：A
4．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，解得答案.
【详解】向量与向量，共面，不共线，则，
即，故，解得.
故选：C.
5．如图，在四面体中，，，，点在棱上，点在棱上，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用空间向量的运算法则计算得到答案.
【详解】.
故选：B.
6．在长方体中，，，，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【分析】确定，计算得到答案.
【详解】，，，
.
故选：C.
7．在如图所示的六面体中，四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，则平面与平面所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．135°D．45°或135°
【答案】B
【分析】由题意，，，两两垂直，以点为原点建系，平面的一个法向量为，再用向量法求出平面的法向量，则由可得到所求两面角
【详解】因为四边形和均为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，由题意可知，，两两垂直，以点为原点建系如图，
则，，，，
则，，
根据题意可知平面，所以，即为平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
则
取，则，，
则为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面所成的角为45°，
故选：B．
8．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（ ）
A．先变小后变大B．先变大后变小C．不发生变化D．由小变大
【答案】C
【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断.
【详解】设正方形的边长为，，
，，，，，
，，
，
由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确；
故选：C.
二、多选题
9．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】求出向量的模后可求与共线的单位向量.
【详解】，故与共线的单位向量为，
其坐标为或，
故选：AD.
10．已知空间中三点，，，则（ ）
A．
B．与夹角的余弦值是
C．直线的一个方向向量是
D．平面的一个法向量是
【答案】ACD
【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析计算作答.
【详解】由，，，
得，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
所以向量与平行，
所以直线的一个方向向量是，故C正确；
对于D，因为，所以不共线，
设，
则，
所以，
所以是平面的一个法向量，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则（ ）

A．
B．与平面所成角为
C．二面角的余弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐项计算ABCD后可判断它们的正误.
【详解】如图，连接，设，则，
因为，故，故，
故，故，
而平面，平面，故，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
故，而，故，故A正确.
，而平面的法向量为，

设与平面所成的角为，则，
因为，故，故B正确.
又，设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，但二面角的平面角为钝角，
故其余弦值为，故C错误.
又，故，
故直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是 .
【答案】
【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标.
【详解】依题意，设，
因为，，，
所以，解得，
所以．
故答案为：.
14．在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于 .
【答案】
【分析】如图以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.
【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且，
所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,
设，则
，
所以，
所以 ，
因为异面直线所成的角在，
所以异面直线与所成的角等于，
故答案为：
【点睛】此题考查异面直线所成的角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.
15．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据向量的夹角公式计算，再计算面积得到答案.
【详解】，，则，
，，
面积为.
故答案为：.
16．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点)放于桌面，建立合适空间直角坐标系，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面的方程为，若三脚架顶点Q的坐标为，则点Q到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】确平面过定点，平面的法向量为，计算，再计算距离得到答案.
【详解】平面的方程为，取， 则平面的法向量为，
，则，
故点Q到平面的距离为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，，求：
(1)线段的长度及其中点坐标；
(2)到两点距离相等的点的坐标满足的条件．
【答案】(1)，坐标是
(2)
【分析】（1）利用空间直角坐标系中两点间的距离公式、向量的运算分析运算即可得解.
（2）利用空间直角坐标系中两点间的距离公式运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，，，
∴由距离公式得：.
设点是的中点，
则，
∴点坐标是.
（2）解：由题意，点是到两点距离相等的点，
即，
∴，
化简得：，即为点的坐标满足的条件．
18．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且．
（1）求证：；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明；
（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值
【详解】（1）建立以D点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，
所以，即，
所以.
（2）由（1）知，，，
则，
因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为.
五、证明题
19．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
20．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示），沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点（如图2所示）．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先判定底面，再建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算即可；
（2）利用（1）建立的坐标系，通过空间向量计算夹角即可.
【详解】（1）取的中点，连接，并过点作的平行线，交于点，
则．
因为为等边三角形，所以．
因为平面底面，且平面底面，
所以底面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所示空间直角坐标系．
因为，则，，，，
所以，，
所以，
所以．
（2）由（1）得，，
设平面的法向量为，
则即
令，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由面面垂直的性质、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面BAC的一个法向量，再由即可得解.
【详解】（1）证明：平面，平面，，
二面角是直二面角，平面平面，
又，平面，
平面，，
又平面，，平面；
（2）取线段AB的中点O，连接，
由，平面平面，可得平面，
以O为原点，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
平面，，，
，，，，，
设平面AEC的一个法向量为，
则即， 令得，
又平面BAC的一个法向量为，
，
又二面角为锐角，∴二面角的余弦值为，
∴二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直的性质及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题.
六、解答题
22．如图，六面体中，面且面，，，.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明；
（2）由题意，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，设，由二面角的余弦值为建立关于的方程，并求解，进而求出点到直线的距离.
【详解】（1）证明：因为面且面，
面且面，
所以且，
在面中，，
同理，在面中,，
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
由面，面，知，
又因为，面，面,
所以面.
（2）取中点，由题可知，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为面，故面，
又因为为正三角形，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，以的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，，
设面的法向量为，则有，
不妨设，得，
又面，故面的法向量不妨设为，
由题意，解得，
于是，，，
所以点到到直线的距离为.