2023-2024学年山东省济南市济南中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市济南中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．1C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.
【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），
＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），
∴点A到直线BC的距离为：
d＝
＝1×＝．
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.
2．一入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得点关于直线l：的对称点的坐标，可得的方程，即反射光线所在直线方程.
【详解】解：因为点关于l：的对称点为，
所以反射光线的方程为.
故选：D.
3．若直线与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出.
【详解】由直线可得直线的斜率为，且过定点，又，
则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，
又，
或.
故选：B.
4．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.
【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
由得，即，
由于，所以，，
所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，
由图知：，
故选：B.
二、多选题
5．设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可依次求解．
【详解】由是空间一个基底，知：
在A中，若，，则与可以平行，不一定垂直，故A错误；
在B中，由基底的定义可知，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，是空间一个基底，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，假设向量共面，则，，
化简得，因为不共面，
所以，无解，
所以不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确．
故选：BCD
6．对于空间一点O，下列命题中正确的是（ ）．
A．若，则P，A，B，C四点共面
B．若，则P，A，B，C四点共面
C．若，则P，A，B三点共线
D．若，则B是线段AP的中点
【答案】BCD
【分析】根据空间四点共面的结论即可判断AB，再利用三点共线的结论和平面向量共线定理即可判断CD.
【详解】对A，因为，则P，A，B，C四点不共面，故A错误；
对B，因为，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
对C，因为，则P，A，B三点共线，故C正确；
对D，，即，即，则，共线，且点P,B在点A的一侧，
又因为有公共点，则点三点共线，则B是线段AP的中点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．若的一个顶点是，的角平分线方程分别为，则边所在的直线方程为 ．
【答案】
【详解】的角平分线方程分别为，
与对于对称，与对于对称 ，
关于对称点在直线上，
关于的对称点也在直线上，
代入两点式方程可得
故所求直线的方程为：
故答案为
点睛：根据题目条件，求出点关于对称和对称的对称点坐标，都在要求的直线上，再利用两点式方程求解即可
8．如图，菱形中，，与相交于点，平面，，，．若直线与平面所成的角为45°，则＝ ．

【答案】2
【分析】根据题意求出，建立空间直角坐标系，利用线面角公式求解即可.
【详解】设AE＝a，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC为正三角形，
又AB=2，易得，
如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．

则，
所以，
设平面BED的法向量为，
则，令z=1则，，
因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°，
所以，
由，解得，所以AE＝2．
故答案为：2.
四、解答题
9．已知直线l过点(1，0)，且与直线：和：所分别交于A、B两点，且．求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程．
【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，，距离为9，符合题意；
当直线l斜率存在时，方程可设为，
直线l与直线联立，得交点，
直线l与直线联立，得交点，
故两点间的距离为，化简得，
即直线方程为，即，
综上，直线l方程为或．
10．如图，在三棱柱中，，顶点在底面ABC上的射影恰为点B，且．

(1)求直线与BC所成角的大小；
(2)若点P为的中点，求平面PAB与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱与所成的角的大小；
（2）求出平面的法向量，而平面的法向量，利用向量的数列积公式求解余弦值即可.
【详解】（1）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
，
则直线与所成的角的余弦值为，又因为直线与直线的夹角范围为，
故与所成的角是．
（2）因为为棱的中点，故易求得．设平面的法向量为，
则，由，得，令，则，
而平面的法向量．则．
则平面PAB与平面所成角的余弦值是．