2023-2024学年山东省青岛市青岛第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛市青岛第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．135°
【答案】B
【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°.
故选：B
【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题.
2．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．
【详解】由题意得，所以，
又直线的方向向量为，则，
所以，
设直线与直线所成的角为，
则，则，
所以点到直线的距离为．
故选：A．
3．已知向量是空间向量的一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再设向量在基底下的坐标为，利用向量的线性运算及向量相等，列出关于的方程组，进而求解即可．
【详解】由向量在基底下的坐标为，
则，
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
所以向量在基底下的坐标为．
故选：A．
4．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
5．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为，所以，即，
因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
6．已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点在圆外以及方程表示圆得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】由点在圆外知，即，解得，
又为圆，则，
解得，故.
故选：D.
7．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
8．已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分别计算点到四条直线的距离，结合点相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案．
【详解】由题意，当到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点 的“相关直线”
A ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
B ，，直线为，所以点到直线的距离为，所以点到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
C ，，直线为，所以点到直线的距离为：，所以点到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点使成立，是点的“相关直线”；
D ，，直线为，所以点到直线的距离为：，即点到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点使成立，不是点的“相关直线”．
故选：D．
【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题.
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线平行，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
【答案】AC
【分析】对于A，即可解决；对于B，由题意得即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可.
【详解】对于A，，即，故A错误；
对于B，直线与直线平行，所以，解得，故B正确；
对于C，直线与直线（即）之间的距离为，故C错误；
对于D，已知，，点在轴上，如图
取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，
所以的最小值是5，故D正确；
故选：AC.
10．下列说法错误的是（ ）
A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
【答案】ACD
【分析】根据空间向量平行、空间点共面、空间向量夹角、基底等知识确定正确选项.
【详解】A选项，若是零向量，是非零向量，则，但不存在实数，使得，A选项错误.
B选项，，
，所以P，A，B，C四点共面，B选项正确.
C选项，当时，，与夹角为，C选项错误.
D选项，如下图所示三棱锥，是空间的一个基底，但不共面，D选项错误.
故选：ACD
11．对于直线.以下说法正确的有（ ）
A．的充要条件是
B．当时，
C．直线一定经过点
D．点到直线的距离的最大值为5
【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.
【详解】当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，C错误；
因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ，
故D正确，
故选：BD.
12．已知曲线C上的动点满足，O为坐标原点，直线l过和两点，P为直线l上一动点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（ ）
A．点P与曲线C上点的最小距离为
B．线段PA长度的最小值为
C．的最小值为3
D．存在点P，使得三角形PAB的面积为3
【答案】BCD
【分析】设，由求得，由圆的性质，取得点P与曲线C上点的最小距离为，可判断A；由，求得的最小值，进而可判断B；设，在直角中，求得，结合平面向量数量积的定义得到，结合对勾函数的单调性，可判断C；结合C选项求出面积的最小值，进而可判断D.
【详解】对于A，因为，设，则，可得曲线C的轨迹为圆.
又直线l过和两点，所以直线l的方程为，即，
所以圆心到直线l的距离为，
由图可知，点P与曲线C上点的最小距离为，故A错误；
对于B，由图可知，在直角中，，
要使线段PA的长度最小，则取最小值，即，
此时，，故B正确；
对于C，设，，则，
在直角中，，，
所以，
所以，
令，，则，
因为函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值3，故C正确；
对于D，由切线长定理知，直线OP垂直平分线段AB，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，此时，
设的中点为，
则，
所以，
所以三角形PAB的面积的最小值为，
所以存在点P，使得三角形PAB的面积为3，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：关于切线长最小值问题，本题中是把切弦长问题根据勾股定理转化为圆心到直线的距离最短问题进行解决.
三、填空题
13．直线与圆相切，则b的值是 ；
【答案】2或12
【分析】先将圆的方程化为标准方程：，得到圆心和半径，因为直线与圆相切，再利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】圆的方程
化为标准方程：
所以圆心为，半径为1
因为直线与圆相切
所以
解得或
故答案为：2或12
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
14．如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】设，利用已知条件得到与的夹角与二面角互补， 利用，求出，再利用向量的数量积求两个向量夹角的余弦值，即可求解.
【详解】设，
由于点C，于D，
且二面角的大小为，
可知与的夹角为；
由已知条件可得：
，
因为，
所以，
设直线AB与CD所成角为，则，，则，
故直线AB与CD所成角的正弦值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查求异面直线所成角的问题.利用空间向量的相关知识求解是解决本题的关键.
15．已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题述条件可将所求化为关于的函数，结合即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
不妨设，
所以，
因为，所以，
所以的值域为，即的取值范围是.
故答案为：.
16．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为 .
【答案】/
【分析】首先以点A为原点，建立空间直角坐标系，然后利用点到直线距离的坐标公式列式，化简后求函数的最小值即可.
【详解】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，
则，
所以，
因动点P在线段上，则令，
即有点，所以，则，
从而，
因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的高AD所在直线的方程．
【答案】(1)3x-y+9=0
(2)x+3y-5=0
【分析】（1）由题意可设直线BC的直线方程为y=kx+b，将B，C的坐标代入即可求解；
（2）由题意可知，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，即可求解
【详解】（1）设直线BC的直线方程为y=kx+b，
将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，
解得，
∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．
（2）∵AD为直线BC的高，
∴AD⊥BC，
∴，
设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，
解得，
∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．
18．已知直线l过点P（3，4）
(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程.
(2)若直线l与轴，轴的正半轴分别交于点，求的面积的最小值.
【答案】(1)直线l的方程为：或；(2)24.
【分析】（1）当直线过原点时，符合题意，求出斜率即可得出；当直线不过原点时，由于它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，可设直线l的方程为截距式，把点P的坐标代入即可；
（2）设直线l的方程为截距式，由直线l过点P（3，4）可得方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，进而得到三角形AOB的面积的最小值．
【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率，
直线方程为，即；
②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，
∴可设直线l的方程为：．
∵直线l过点P（3，4），，解得a=5．
∴直线l的方程为：，即．
综上所述，所求直线l方程为或．
（2）设直线l的方程为，
由直线l过点P（3，4）得：．
∴，化为，
当且仅当a=6，b=8时取等号．
∴的面积，
其最小值为24．
【点睛】本题考查了直线截距式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题，解决二元最值或者范围问题，常用的方法有：不等式的应用“1”的妙用，线规的应用，二元化一元等方法.
19．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)若线段DE的端点的坐标是，端点E在圆上运动，求DE的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法求标准方程；
（2）用直接法求轨迹方程.
【详解】（1）设圆心的坐标为，则有，
整理求得，故圆心为，，
则圆的方程为.
（2）设线段DE中点，，由题意知，，
∵点E在圆上运动，∴，
∴的轨迹方程为.
20．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
21．三棱柱中，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过证明平面，即得，从而得到.
（2）根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值.
【详解】（1）如图所示：作中点，连接，
，
是等边三角形，
又，
满足，即有，
而，所以，
，平面，
平面，
而平面，
所以，又因为是中点，
所以.
（2）若，则，易知，
以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，
在中，，
所以，，
则，
，，，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，所以，
同理可得：平面的法向量，
则.
因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
22．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．

(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当点为的中点时，有平面.
【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解.
（2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解.
（3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解.
【详解】（1）作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：

因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为为的中点，，且，，，
所以由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
所以点到平面的距离为.
（2）如图所示：

由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
不妨设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
（3）如图所示：

由题意有
所以，
由题意不妨设，
所以，
又由（2）可知平面的法向量为，
若平面，则，
即，解得，
所以当点为的中点时，有平面.