2023-2024学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区第一中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，证明题，解答题，应用题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1． .
【答案】
【分析】根据复数的运算法则和复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
2．若与是异面直线，且直线，则与的位置关系是 .
【答案】异面或相交
【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论.
【详解】根据异面直线定义可知，
设平面，当，，且，如下图所示：

此时与为异面直线；
当，，且时，如下图所示：

此时与相交.
故答案为：异面或相交
3．从同一点出发的四条直线最多能确定 个平面．
【答案】6
【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可.
【详解】设这四条直线分别为a，b，c，d，则有a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d，共6种情况，
故答案为：6
4．已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】根据向量共线以及向量的线性运算求得点的坐标.
【详解】设是坐标原点，
由于在线段延长线上，且，
所以，则，
所以，
所以点的坐标是.
故答案为：
5．已知方程的两个虚根、满足，则m的值是 .
【答案】
【分析】先设出、，再结合，即可求解.
【详解】由题意有两个虚根、，
所以可设，,,不妨设
则得
由，得，即
由，得
故答案为：
6．若数列的通项公式为，则当 时，数列的前n项和最小.
【答案】5或6
【分析】求出时的范围即可得到答案.
【详解】令得，
即当时，，当时，，当时，，
综上所述：数列的前n项和最小当且仅当或6.
故答案为：5或6.
7．设数列的前n项和为，，，则 .
【答案】
【分析】由作差法求出通项公式，验证时是否满足，再分和求出即可.
【详解】因为，，，两式作差得，
当，不满足，当时，，
故当，，
当时，，
故，
故答案为：
8．下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面.
【答案】①②
【分析】由平面的基本事实三即可判定选项①；由基本事实二及推论二即可判定选项②；在正方体中取反例，即可判定③④.
【详解】因为在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，
所以平面平面,
所以三点在平面与平面的交线上，即三点共线, 故①正确；
因为与平行，则可有由，确定一个平面，
又，
所以
所以平面，平面，
因为与平行，则可有由，确定一个平面，
同理可得，平面，平面，
又，而两条相交直线只能确定一个平面，
所以，为同一平面，即四线共面, 故②正确；
取正方体中为，为，为，
直线a、b异面，b、c异面，但a、c相交，不异面，故③错误；
取正方体中三直线，他们两两相交，
但不仅仅确定一个平面，故④错误.
故答案为：①②.
9．已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则 .
【答案】或
【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长.
【详解】取线段的中点，连接、，
在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点，
所以，，，且，，
所以，异面直线、所成角为或其补角，
因为异面直线与所成角为，则或.
当时，则是边长为的等边三角形，此时，；
当时，由余弦定理可得
.
综上所述，或.
故答案为：或.
10．如图，在长方体中，，，，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求正弦值即可.
【详解】
过点作于点，连接，，
因为为长方体，所以平面平面，
因为，平面平面，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
，，，
.
故答案为：.
11．如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .

【答案】
【分析】求出线段长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.
【详解】正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点到其中心的距离，

因此
，
所以的取值范围是.
故答案为：
12．函数y＝sin2x＋2csx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是 .
【答案】[0，]
【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于csx的解析式，令t＝csx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．
【详解】解：由已知得y＝1﹣cs2x+2csx＝﹣（csx﹣1）2+2，令t＝csx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cs（）时，y，当t＝1时，y＝2，又由x∈[，a]可知csx∈[，1]，可使函数的值域为[，2]，所以有a≥0，且a，从而可得a的取值范围是：0≤a．
故答案为[0，]．
【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．
二、单选题
13．设、、表示三条互不重合的直线，、表示两个不重合的平面，则使得“”成立的一个充分条件为（ ）
A．，B．，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】由线线垂直的性质可判断A，由线面平行的性质可判断B，由线面平行的性质可判断C，由线面平行垂直的性质可判断D．
【详解】选项A：当，时，则或与相交或异面，∴A错误，
选项B：当，时，则或与相交或异面，∴B错误，
选项C：由线面平行的性质定理，当，，时，则，∴C正确，
选项D：当，时，∴，∵，则或与相交或异面，∴D错误
故选：C
14．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】C
【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积.
【详解】如图所示，实线表示直观图，.
,
,
∴直观图的面积为,
故选：C.
【点睛】本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领.
15．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ）
A．①④B．②③C．①②D．③④
【答案】A
【分析】按题意把四个平面图形翻折成四面体，然后根据空间图形中直线与直线的位置关系判断．
【详解】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确；
②对应图2，重合，与是相交直线，②错；
③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错；
④与图1类似得与是异面直线，④正确．
故选：A．
16．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【详解】解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当成立时，总可以推出成立，则能推断若成立，则当时，均有成立．其余不成立．
三、证明题
17．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，如图所示：先证其是平行四边形，再根据空间向量模相等说明邻边相等即可；
（2）可得，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
【详解】（1）设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：

则, , ,，
,，
所以,即且,故四边形是平行四边形，
又因为,所以，
故平行四边形是菱形.
（2）因为，
设异面直线与所成的角的大小为，
，
所以，故异面直线与所成的角的大小为.
四、解答题
18．已知向量，．
(1)当，求
(2)求的最小值，并求此时向量，的夹角大小．
【答案】(1)
(2)最小值为，此时，夹角大小为
【分析】（1）根据模长公式即可求解，
（2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值.
【详解】（1）因
因为，
所以．
（2）解法设，，
因为，
所以，
由，
当且仅当即时取等
所以最小值为，此时，夹角大小为．
解法设，
由，
所以
故当，时最小值为，
此时．
五、应用题
19．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，井将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50％，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元.
(1)判断是否为等比数列？并说明理由；
(2)若企业每年年底上缴资金，第m（m为正整数）年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m的最小值.
【答案】(1)当时，是等比数列，当时，不是等比数列；说明见解析
(2)6
【分析】（1）首先根据题意得出每一年与前一年剩余资金的递推关系，根据递推关系进行构造，结合等比数列定义即可进行证明；
（2）首先根据第一问的结论，求出数列的通项公式，借助通项公式即可求解满足剩余资金超过21000万元时的最小值.
【详解】（1）由题意可得：，，
进而可知：，
由此可得：，即：，
当时，，
故得证：是以为首项，为公比的等比数列.
当时，，故不是等比数列.
（2）当时，由（1）可知：是以为首项，为公比的等比数列，
故，
由于第年年底企业的剩余资金超过万元，
即：，由于为递增数列，且，，
综上可知：的最小值为.
六、问答题
20．已知.
(1)若，求的取值范围；
(2)求在上的单调递增区间；
(3)设的三边分别是a，b，c，周长为1，若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)和
(3)
【分析】（1）利用倍角公式，结合辅助角公式对解析式进行化简，求出角的范围，结合正弦函数的性质可求函数的取值范围进行求解.
（2）根据函数解析式利用整体代入法，可求函数的单调递增区间，再结合求解.
（3）根据三角函数的周长，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可.
【详解】（1）由题意得：
即的取值范围为
（2）由（1）得，，
由，
，
解得单调递增区间为，
令，结合得；
令，结合得，
所以在上的单调递增区间为和；
（3）由（1）得，
，即
由余弦定理得：
化简得：
当且仅当时等号成立
解得或(舍去)
面积的最大值.
七、解答题
21．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由；
(2)若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围；
(3)是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)存在，且
【分析】（1）由不恒成立进行说明.
（2）由恒成立，分离常数，结合三角函数的最值来求得的取值范围.
（3）结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，
函数不是“同比不减函数”，理由如下：
，不恒大于零，
所以不恒成立，
所以函数不是“同比不减函数”.
（2）函数是“同比不减函数”，
恒成立，
，
，
由于，所以.
所以的取值范围是.
（3）存在，理由如下：
，
画出的图象如下图所示，
的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，且.