2023-2024学年四川省成都市郫都区第四中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市郫都区第四中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义即可求解.
【详解】复数在复平面上的对应的点为，
所以在复平面上的点在第四象限.
故选：D.
2．已知事件，互斥，若，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解.
【详解】由于事件，互斥，
则，
所以，选项A正确.
故选：A
3．某学校为了解学生对乒乓球、羽毛球运动的喜爱程度，用按比例分配的分层随机抽样法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有45人，则样本容量为（ ）

A．125B．100C．150D．120
【答案】A
【分析】根据分层抽样的抽取比例相同运算求解.
【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的，抽取的样本中高三年级的学生有45人，
所以样本容量为．
故选：A.
4．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的分解求解.
【详解】因为,
所以，
故选:B.
5．己知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，，则
【答案】C
【分析】根据线面、面面平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，，则或，A错误；
对于B，若，，，则与可能平行或相交，B错误；
对于C，当，时，则存在，，使得，，
，又，，，又，，，，C正确；
对于D，若，，，，则与可能平行或相交，D错误.
故选：C.
6．如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取的中点，则，，所以与所成角的大小等于，不妨设，解三角形即可.
【详解】如下图所示：

分别取的中点，连接，由题意有，，
所以与所成角的大小等于，不妨设，则，所以，
又因为且，所以，；
由余弦定理可得，所以与所成角的余弦值为.
故选：A.
二、多选题
7．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）

A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B．图中的值为0.025
C．估计全校学生成绩的中位数为86.7
D．估计全校学生成绩的80%分位数为95
【答案】ACD
【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为求得，根据频率、中位数、百分位数的求得正确答案.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
设中位数为，则，得，故C正确；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，
则，解得，故D正确.
故选：ACD
8．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（ ）
A．与互为对立B．与互斥
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】先编号：红球为，白球为，
不放回依次取出两个，基本事件有，共种，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
A选项，，所以与互为对立事件；
B选项，，所以与不是互斥事件；
C选项，事件“”，
所以，
所以与相互独立，所以C选项正确.
D选项，事件“”，
，
所以与相互独立，所以D选项正确.
故选：ACD
9．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与所成的角可能是
【答案】AC
【分析】根据线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，可判定A正确；根据，得到四点共面，可判定B不正确；根据三棱锥的体积公式，可判定C正确；建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求得直线与所成的角的范围是，可判定D不正确.
【详解】对于A中，在正方体中，可得，
又由，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，在正方体中，可得，
所以四点共面，所以B不正确；
对于C中，因为，点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为定值，所以C正确；
对于D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
可得，设，
则，
则，
当时，；
当时，，
所以直线与所成的角的范围是，所以D不正确.
故选：AC
【点睛】此类问题解答中熟记正方体的几何结构特征，熟练应用转化顶点，利用等体积法求解三棱锥的体积，以及合理利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成的角是解答的关键.
三、填空题
10．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据对称关系确定点的坐标.
【详解】∵在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，
∴点关于轴对称的点的坐标为．
【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
四、双空题
11．已知数据的平均数为1，方差为2，则的平均数是 ，方差是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的定义计算即得.
【详解】依题意，，
数据的平均数为，
方差为.
故答案为：5；18
五、填空题
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】设，根据空间向量的运算表示出，进而求出它们的模以及数量积，根据空间向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】设，则，
因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，
故，
故
，
，
，
故，
与为异面直线，所成角范围为大于小于等于，
故与所成角的余弦值为，
故答案为：
六、解答题
13．某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)求，，，；
(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)选择品种，理由见解析
【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可；
（2）比较平均值和方差的大小可得答案.
【详解】（1），
，
，
．
（2）由可得两个品种平均产量相等，
又，，则品种产量较稳定，故选择品种.
14．如图，几何体中，平面平面，四边形为边长为2的正方形，在等腰梯形中，，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）可证平面，从而得到.
（2）以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量的夹角的余弦值后可得二面角的平面角的余弦值.
【详解】证明：
过点作于.
为等腰梯形，则，
又，，
，又，
又，故,
故，.
∵平面平面，，平面平面，
∴平面.
∵平面，，又，
∴平面，∵平面，所以.
（2）解：以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
设平面和平面的法向量分别为和，
则即，取得：，
又即，取得：，
则，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
15．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【详解】（1）记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.
如表1所示．
表1
第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．
记 “第一次摸到白球”，则．
（2）在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．
表2
第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.
记 “第二次摸到白球”，则．
（3）“同时摸出两个球”的基本事件有，共10件，
其中至少摸到一个白球的基本事件有，共7件，
记 “至少摸到一个白球”，则.
16．如图，四边形为平行四边形，点在上，，且．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得，则由线面垂直的判定定理得平面
（2）由（1）可得，然后由余弦定理结合勾股定理的逆定理得，再由线面垂直的判定可得平面，最后由面面垂直的判定定理可证得结论，
（3）以为原点，所在的直线为轴，在平面过点作的垂线为轴，所在的直线为轴，建立空间直线坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）由题，所以，，
又，平面，
平面.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，所以由勾股定理逆定理得，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
（3）以为原点，所在的直线为轴，在平面过点作的垂线为轴，所在的直线为轴，建立空间直线坐标系，如图所示，
设，则，
平面的一个法向量，
由直线与平面所成角的正切值为，
设直线与平面所成角为，则，又，
解得（负值舍去），
所以，
解得（负值舍去），
，
设平面的法向量，
则，取，得，
故点到平面的距离.

（单位：）
60
50
45
60
70
80
80
80
85
90
（单位：）
40
60
60
80
80
55
80
80
70
95
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