2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市富阳区实验中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】或，
所以．
故选：D．
2．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
3．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的40百分位数是（ ）
A．4B．4.5C．5D．9
【答案】C
【分析】计算出极差，进而得到该组数据的中位数，得到，求出，进而利用百分位数的定义求出答案.
【详解】极差为，故该组数据的中位数是，
数据共6个，故中位数为，解得，
，故该组数据的40百分位数为从小到大第3个数，
故该组数据的40百分位数是.
故选：C
4．已知向量，且，则等于（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得到，再计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得.
所以，，.
故选：A
5．已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案.
【详解】因为和互斥,
所以,
又,
所以,
因为,
所以.
故选:B.
6．在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【分析】根据空间数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.

故选：B
7．直线经过两点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.
【详解】由，得的斜率为．
故选：A
8．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：D.

二、多选题
9．已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．如果与互斥，那么
D．如果与相互独立，那么
【答案】BCD
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可
【详解】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确；
对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确；
对于选项D，如果与相互独立，那么
，所以选项D正确.
故选：BCD
10．已知平面的法向量为，点，点，若∥平面，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】CD
【分析】根据空间向量判断线面平行的条件列出等量关系，解之即可.
【详解】因为∥平面，且平面的法向量为，
所以，因为，
所以，解得或，
故选：CD.
11．若三条直线，，交于一点，则a的值为（ ）
A．B．3C．1D．2
【答案】CD
【分析】先求出直线与的交点，然后代入直线方程即可得到.
【详解】解：联立直线方程与，
即，解得，
故直线与的交点为，
因为三条直线，，交于一点，
所以将代入，
解得或2.
故选：CD.
12．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是 ．
【答案】∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
【分析】把特称量词改为全称量词，把结论否定即可求得结果.
【详解】把特称量词“∃”改为全称量词“∀”，把“＝”变为“≠”，
即∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
故答案为：∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
【点睛】本题考查特称命题的否定的求解，属简单题.
14．疫情防控期间，学校从2名男教师和3名女教师中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人都是女教师的概率为 ．
【答案】/
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】记男老师为，女老师为，任选两人，基本事件有：
，共个，
其中个都是女老师的事件有：，共个.
所以选中的2人都是女教师的概率为.
故答案为：
15．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为 ．
【答案】/
【分析】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，根据已知得出，，代入数据即可得出答案.
【详解】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，
由题意可知，，.
因为事件，相互独立，所以.
又，
所以.
故答案为：.
16．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为
【详解】圆的圆心为，半径，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，
故答案为：5
四、解答题
17．已知幂函数是偶函数，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据是幂函数，故，解得或，又为偶函数，故；
（2）根据的单调性确定值域，又，故，解得.
【详解】解：（1）由题意为幂函数，
故，解得或，
又为偶函数，
故；
（2）由（1）得，在上单调递增，
故的值域为；
又在上单调递增，
故的值域为，
又，故
，解得.
【点睛】求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
18．在中，内角，，的对边分別为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴.
（2）
如图，由题意及第（1）问知，，且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴
∴，
故的面积的最小值为.
19．如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，，G是CF的中点．

(1)证明：平面AEF；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直性质证明线面垂直，则可建立空间直角坐标系.利用直线与平面的法向量垂直证明线面平行；
（2）利用法向量求解线面角即可.
【详解】（1）如图，取BC中点H，取AD中点M，
因为为等边三角形，所以，平面平面ABCD，
又平面，平面平面，
所以平面ABCD，又底面ABCD为矩形，则.
以H为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

由题意可得，，，，，，
已知G是CF的中点．则，
可知，
，，由四边形BDEF为平行四边形，
得，
设平面AEF的法向量，
则，取，得，
则平面AEF的一个法向量
故，则.
且平面AEF，则平面AEF.
（2），，，
设平面的法向量，
则，取，得，
得平面BDEF的一个法向量
设直线AE与平面BDEF所成角为，
则，
则为锐角，故.
故所求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值为.
20．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
E是PB的中点，则，于是，.
设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.
因为，,设平面PAD的法向量，
则，令，则，所以，又，
则点E到平面PAD的距离.
21．已知光线经过已知直线：和：的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．
(1)求与距离为的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设出直线方程，利用平行线间的距离公式建立方程，求解即可；
（2）求出交点的坐标，利用入射光线和反射光线所在直线斜率相反得到反射光线所在直线的斜率，即可求解.
【详解】（1）由题可设所求直线方程为，
根据平行线间的距离公式
解得或17，
所以与距离为的直线方程为或．
（2）由，
可得，即，又，
所以，
所以反射光线所在的直线的斜率为，
故反射光线所在的直线的方程，
即．
22．已知圆，直线为直线上一点，过点作圆的两条切线，其中为切点，且最小．
(1)求直线的方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点，设，的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由直线与圆相切的性质，当时，最小，由四点共圆，则即为两圆公共弦，两圆方程相减可得直线的方程；
（2）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理用表示，将所求整理变形为用表示，代入韦达定理化简可得定值.
【详解】（1）圆，圆心为，半径为，
已知是圆的两条切线，则，
所以当最小时，最小．
最小值即为点到直线的距离，
此时，且直线，直线的斜率，
设，则有，解得，即，
由，得四点共在以为直径的圆上，
圆心为的中点，设为，坐标为，圆的半径为，
则圆的方程为，即①，
又圆②，
则两圆方程相减得公共弦的方程，即由②①得，，
即直线的方程为.

（2）由题意知，过点的直线斜率存在，
故可设方程为，即，
设，且，
由题意的斜率，的斜率，
则.
联立，整理得,
则，即.
由韦达定理知，，
则，
，
故，
故为定值．