2023-2024学年浙江省台州市路桥中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省台州市路桥中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A．不存在B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小.
【详解】解:由题知直线l过、两点,
所以直线的方程为,
故倾斜角为.
故选:C
2．已知圆C的方程为，则圆C的半径为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【分析】化圆的一般式为标准式得圆C的半径.
【详解】由圆C的半径得，所以圆C的半径为，
故选：C
3．直线：的一个方向向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将直线的方程化为斜截式，即可得到直线的方向向量，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
所以直线的方向向量为，因为，
所以直线：的一个方向向量可以是；
故选：C
4．设直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，当与直线垂直时，最小，当为直径时，最大，即可得到结果.
【详解】直线即为，由，可得，
所以直线过定点，且圆的圆心为，半径，由于，所以在圆内，又，则当与直线垂直时，最小，，当为直径时，最大，，所以的取值范围为.
故选：A
5．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【分析】若向量共面，利用空间向量基本定理建立方程组，方程组有解.若无解则不共面.
【详解】已知构成空间的一个基底，不共面，则，不共线.
选项A，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，
使，
则，
则由空间向量基本定理得，
，方程组无解.
所以不共面．
选项B，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，
使，
则，
则由空间向量基本定理得，
，方程组无解.
所以不共面．
选项C，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，
使，
则，
则由空间向量基本定理得，
解得，，
即：，
所以共面．
选项D，若向量共面，由平面向量基本定理得，存在唯一有序数对，
使 ，
则，
则由空间向量基本定理得，
，方程组无解.
所以不共面．
故选：C.
6．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.
【详解】取中点，连接，如下图所示：
为边上的高 ，
即为二面角的平面角，即且平面
为正三角形 为正三角形
又为中点
平面 ， 平面
又平面
即为点到的距离
又，
本题正确选项：
【点睛】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.
7．若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，
因为圆与圆关于直线对称，
所以的中点满足直线方程，解得，
过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，
所以解得：，
故选：C．
8．在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，可证为所求线面角，设，用表示出求最值.
【详解】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，
由，则，又，则，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，则，
又平面，平面，，则平面．
又，故与面所成角与与面所成角相等，所以为所求线面角，
设，则，
，
故 ，
令，则，
因为，所以，当且仅当时取等号．
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：已知斜线AB与平面交于点B，则直线AB与平面所成角的作法：
（1）直接法作线面角：即定义法，过A作面的垂线，垂足为，根据线面角的定义得为直线AB与平面所成角.
（2）借助于面面垂直作线面角：过A点作平面的垂面，过A点作两面交线的垂线，垂足为，则为直线AB与平面所成角.
二、多选题
9．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面的法向量分别为，则
D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】AD
【分析】由两条直线的方向向量数量积为0可得两直线垂直判断A；由数量积为0可得或判断B；由平面向量不共线判断C；由法向量与平面向量数量积为0列和的关系判断D.
【详解】对于A，，则，所以l与m垂直，故A正确；
对于B，，则，所以或，故B错误；
对于C，若，则，此方程组无解，所以不成立，故C错误；
对于D，，，因为向量是平面的法向量，
所以，得，，，故D正确.
故选AD
10．已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】ABD
【分析】考虑三条直线交于一点，或与或平行时，满足条件，从而可求出答案.
【详解】因为三条直线将平面分为六个部分，
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立，解得，此时，即，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，
当时，，当时，，所以或．
故选：ABD.
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是（ ）
A．直线平面B．存在点P，使得
C．面积的最小值是D．直线到平面CMN的距离是
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，取特例，利用向量即可判断A；根据，利用向量垂直的坐标表示即可判断B；先求在的投影，然后由两点间距离公式和三角形面积公式，结合二次函数性质即可判断C；利用等积法，由可判断D.
【详解】对A：取，
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
易知为平面的一个法向量，
因为，所以此时直线与平面不平行，故A错；
对B：设，则，
则，
由，即，
整理得，得，
由，故存在点P，使得，B对；
对C：由B得到的投影为，
则P到的离
面积为，
由二次函数性质，当时，S取得最小值为，C对．
对D：M，N分别是棱的中点，∴，
平面CMN，平面CMN，故平面CMN，
故直线到平面CMN的距离等于点到平面CMN的距离，设为h，
，，
，，得，D错.
故选：BC
12．已知直线l经过点，曲线．下列说法正确的（ ）
A．当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为
B．当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
C．当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为
D．存在定点Q，使得过的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
【答案】ACD
【分析】将曲线方程转化为两个圆的方程，结合图像利用直线和圆的位置关系逐项分析即可.
【详解】曲线，
可得：，
即：，
或，
即：或，
所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，如图所示．

易得，直线AO的斜率为，
设过点A且与圆N相切的直线方程为，
则点N到该直线的距离，解得
即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为．
设过点A且与圆M相切的直线方程为，
则点M到该直线的距离，
解得.
对于A：由图可知，当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为．故选项A正确；
对于B：由图可知，直线AO与曲线的公共点个数为3，
直线AD与曲线的公共点个数也为3，
直线与曲线的公共点个数为1，
所以当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故选项B错误；
对于C：直线AC的方程为，点M到直线AC的距离，
则直线AC与圆M相切于点B．
在直线l绕着点从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，
直线l与曲线的公共点个数都为4（不包括直线AC与直线AO的位置）；
在直线l绕着点从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，
直线l与曲线的公共点个数也都为4（不包括直线AO与直线AD的位置）．
所以当直线l与曲线的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为．故选项C正确；
对于D：因为过原点O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3，
所以存在定点Q（Q与O重合），使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2，故选项D正确.
故选：ACD．
三、填空题
13．两条平行线和的距离为 .
【答案】
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】两条平行线和间的距离为.
故答案为：.
14．已知方程表示圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据解不等式即可．
【详解】由题意得，，解得，
故答案为：．
15．已知直线l经过点，且是l的方向向量，则点到l的距离为 ．
【答案】/
【分析】由向量的夹角公式求得，求得，结合，即可求解.
【详解】由题意知，点和，可得，
则，
所以，又由，
故到的距离为.
故答案为：.
16．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .

【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到直线的方程和的重心，设分别是点关于直线和轴的对称点，设，求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
所以直线的方程为，且的重心，
设分别是点关于直线和轴的对称点， 设，
设，可得，解得，即，
又由，根据光的反射原理，可知四点共线，
所以，即，解得，即长为，所以长为.
故答案为：.

四、解答题
17．已知空间中三点，设．
(1)若，且，求向量，
(2)已知向量与互相垂直，求k的值．
【答案】(1)或；
(2)k的值是．
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线可设，结合模长公式可求；
（2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值；
【详解】（1）空间中三点，
则，，
，且，，
，
，或．
（2）因为，，且向量与互相垂直，
，解得．
的值是．
18．已知的顶点，，边BC的垂直平分线所在直线方程为.
(1)求边BC所在直线方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)3
【分析】(1)根据给定条件求出直线BC的斜率，再借助直线的点斜式方程即可得解.
(2)利用(1)的结论求出点B的坐标，再求出点C到直线AB的距离即可求得的面积.
【详解】（1）因直线的斜率为1，而直线是边BC的垂直平分线，则直线BC的斜率为-1，
即有直线BC方程为：，即，
所以边BC所在直线方程为：.
（2）由(1)知，直线BC：，则由得，于是得线段BC与其垂直平分线交于点，
显然，点是线段BC的中点，而，于是得点,
因此，直线AB方程为：x=1，且，点到直线AB的距离为h=2，
从而得，
所以的面积是3.
19．已知为圆：上任意一点，且点
(1)求的最大值和最小值；
(2)过作圆的切线，求切线方程．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)或
【分析】（1）先把圆的方程化为标准方程，求出圆心于半径，转化为圆心到点的距离加减半径即可求得的最大值与最小值；
（2）分别讨论切线方程的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于圆的半径求解即可.
【详解】（1）由圆：
化为标准方程可得：，
所以圆心的坐标为，半径，
又，
所以最大值为，最小值为．
（2）①当切线的斜率k存在时，
设切线的方程为，即
由切线的性质可知圆心到切线的距离等于半径，即 ，
解得：，所以切线方程为：；
②当切线的斜率k不存在时，切线的方程为：，
此时圆心到切线的距离，符合条件；
所以，切线方程为或.
20．如图，在直三棱柱中，D为上一点，平面．
(1)求证：；
(2)若，P为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）可先证平面，继而可得，又平面可证得，从而可证平面，则结论可证;
（2）利用空间向量即可求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，又平面，∴，
∵平面，且平面，
∴．又平面，平面，，
∴平面，又平面，
∴．
（2）由（1）知平面，平面，从而，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系，
∵平面，其垂足D落在直线上，
∴．
在直角三角形中，，
，
在直三棱柱中，．
在直角三角形中，，
则，
，
设平面的一个法向量，
则，即，得，
直线AB的一个方向向量为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值.
21．已知圆．
(1)若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．
(2)点P为圆C上任意一点，过点P到单位圆的切线，切点Q．试探究：平面内是否存在一点R和固定常数，使得?
【答案】(1)或；
(2)存在满足题意的点R和，或
【分析】（1）将圆的方程整理为标准式，明确其圆心与半径，根据题意，作图并分情况建立方程，可得答案；
（2）设出未知点的坐标，利用等式建立方程，结合圆的方程，化简整理，可得方程组，可得答案.
【详解】（1）
圆C标准方程为，圆心为，半径为，
圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，则圆心到直线l的距离为，
由题意截距不为0时，设直线方程，所以，解得，
所以直线l方程为．
当截距为0时，设l方程为，即，由，解得（舍去）或，
直线l方程为，
综上，直线l方程为，；
（2）假设存在一点R和固定常数，使得，设，
由切线长公式得，所以，
，又，
整理得：，这是关于x，y的恒等式，
所以．显然，解得或，
所以存在满足题意的点R和，或
22．如图，和都垂直于平面，是上一点，且，为等腰直角三角形，且是斜边的中点，与平面所成的角为.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值；
(3)若点P是平面ADE内一点，且，设点P到平面ABE的距离为，求的最小值.
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【分析】（1）要证平面，只需证明，，从而利用证明，利用平面证明；
（2）过点作，连接，得出为二面角的平面角，再在中求得的正切值；
（3）根据题意将点到平面的距离转化为点到的距离，在平面内作点关于直线对称点，作于，当，，三点共线时，为最小，从而得出，再在中求出.
【详解】（1）平面，与平面所成的角为，，
，，在等腰中，，
又，，，，，
，即，即，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，
平面，，
，平面.
（2）
过点作，连接，如图所示，
平面，平面，，
又，，平面，
平面，，
根据二面角的定义可知，为二面角的平面角，
在中，，，，
平面，平面，，
在中，，，
，
.
（3）由（1）知，，又，，
平面，
同理平面，平面与平面重合，即点平面，
而平面，平面平面，
平面，点到平面的距离转化为点到的距离，
在平面内作点关于直线对称点，作于，
当，，三点共线时，为最小，如图所示，则，
在中，，，
，
的最小值为.