2023-2024学年福建省德化第一中学高一上学期第一次质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省德化第一中学高一上学期第一次质量检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：B
2．已知函数则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可.
【详解】∵
∴.
故选：A.
3．命题“正方形都是菱形”的否定是（ ）
A．任意一个正方形，它是菱形
B．任意一个正方形，它不是菱形
C．存在一个正方形，它不是菱形
D．存在一个正方形，它是菱形
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】全称命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在一个正方形，它不是菱形”.
故选：C.
4．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantr）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
【答案】B
【分析】根据所给公式即可代入求解.
【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，，
所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23．
故选：B
5．如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【答案】C
【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.
【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
6．集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由集合描述列举出集合A的元素，根据元素个数求真子集个数即可.
【详解】由题设，令或，
当，则；当，则，
所以，故A的真子集个数为个.
故选：B
7．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】考虑和两种情况，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】当时，对一切实数都成立，满足要求，
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是.
故选：D
8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，
则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则，可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
二、多选题
9．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】BD
【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同来判断函数是否为同一函数，从而求解.
【详解】对于A：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；
对于B：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；
对于C：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；
对于D：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；
故选：BD.
10．在的条件下，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】由于，所以，A选项正确.
当，时，，B选项错误.
当时，，但，C选项错误.
由于，所以，
所以，则；
，则，
所以，所以D选项正确.
故选：AD
11．下列选项正确的有（ ）
A．若，则
B．已知，，则的取值范围是
C．函数在上的最大值为4，则实数a的值为或2
D．已知全集，，则集合
【答案】BCD
【分析】根据集合的相等求出判断A；根据不等式性质判断B；根据二次函数在给定区间上的最值，讨论a的范围，求出a值，判断C；根据集合的运算可判断D.
【详解】对于A，，则，故，
则，故，A错误；
对于B，，，则，
则，B正确；
对于C，图像的对称轴为，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，，不合题意；
即实数a的值为或2，C正确；
对于D，，
则，，
又，则，D正确，
故选：BCD
12．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，在上单调递增
C．若方程有实根，则
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为4048
【答案】ACD
【分析】对于A，得到判断；对于B，由，判断；对于C，令得到判断；对于D，由A得到时，关于中心对称判断.
【详解】对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，因为，，所以，当时，在上不是单调递增，故B错误；
对于C，令，显然，所以，因为，所以，故C正确；
对于D，由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2024个交点关于对称，故，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．若，则
【答案】
【分析】通过配凑法即可得到答案.
【详解】由题意，，则.
故答案为：.
14．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域是，
所以对于函数来说，有，
所以函数的定义域是.
故答案为：
15．已知是定义在上的偶函数，若，且时，都有，则满足的实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题设易得偶函数在上递减，在上递增，进而可得求参数范围.
【详解】由题设，偶函数在上递减，故上递增，
所以，可得，即或，
所以或，即m的取值范围为.
故答案为：
四、双空题
16．已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
【答案】
【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．
【详解】第一问：因为，所以，
所以，
第二问：因为，
易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得．
故答案为：；
五、问答题
17．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)问题：已知______，求实数a的取值范围.
从下面给出的两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.
①；②“”是“”的必要条件.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）解分式不等式求集合A，再根据交运算求；
（2）根据所选条件，讨论、列不等式组求参数范围即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
当时，，
所以.
（2）选①：由，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，a的取值范围是.
选②：因为“”是“”的必要条件，所以，
当时，，解得，
当时，或，解得，或，
综上，a的取值范围是.
六、解答题
18．已知函数．
（1）判断并证明函数在上的单调性：
（2）当时，函数的最大值与最小值之差为；求的值．
【答案】（1）单调递增，答案见解析；（2）
【分析】（1）方法一：利用单调性的定义来证明函数在区间上的单调性；
方法二：利用平均变化率的定义得出函数在区间上的平均变化率的正负来得出函数在区间上的单调性；
（2）由（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，可得出该函数在区间上的最大值和最小值，再利用函数的最大值与最小值之差为，可求出实数的值.
【详解】（1）函数在上单调递增.证明如下：
方法一：，且，又，
则.
因为，所以，，，
所以，即.
所以函数在上单调递增；
方法二：，，设，.
又因为、，所以，，故，
因此，函数在上单调递增；
（2）由（1）知函数在上单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
所以，即，解得.
【点睛】本题考查利用单调性的定义证明单调性，同时也考查了利用函数的单调性求函数的最值，解题时要熟悉单调性定义证明函数单调性的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
七、问答题
19．已知是定义在上的奇函数，且是减函数.
(1)当时，，求函数在上的解析式；
(2)求使成立的实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数定义直接求解析式即可；
（2）根据奇函数将不等式转化为，结合函数单调性求解答案即可.
【详解】（1）设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以函数在上的解析式为；
（2）因为是定义在上的奇函数，且是减函数，
所以由，得，
所以，
解得或，
所以a的取值范围为
八、解答题
20．已知函数．
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程，解方程得到，然后求即可；
（2）分、和三种情况解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知，关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两个根为1和2，
所以，解得，
则．
（2）由条件可知，，即，
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或．
综上可知，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
21．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加yml/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2ml/L时，物质N才能有效发挥作用．
(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；
(2)若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3ml/L，并说明理由．
【答案】(1)物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时；
(2)当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
【分析】（1）对分两种情况讨论解不等式即得解；
（2）求出，再利用基本不等式判断求解.
【详解】（1）解：当时，由题得，解之得；
当时，由题得，解之得；
所以.
所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.
（2）解；当时，水中含有物质N的浓度为yml/L，
则.
当且仅当时等号成立.
所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3ml/L.
所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3ml/L.
九、问答题
22．定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界.
(1)若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数c的取值范围；
(2)某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性，
（i）请直接写出函数在与的单调性，不必证明；
（ii）若函数定义域为，m是函数的下界，请利用（i）的结论，求m的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）在为减函数，在为增函数；（ii）
【分析】（1）由分离参数，结合函数的单调性求得的取值范围.
（2）根据对钩函数的知识求得函数在与的单调性；根据的单调性，对进行分类讨论，结合“下界”的定义求得.
【详解】（1）依题得，对任意，恒成立，
∴对任意恒成立，
令，显然函数在上单调递减，
∴，
∴，即实数c的取值范围为；
（2）（i）函数在为减函数，在为增函数；
（ii）∵，
由（i）知，在为减函数，在为增函数，
①当，即时，由（i）知为减函数，
∴，
∴，
②当，即，由（i）知为增函数，
∴，
∴，
③当，即，，
当且仅当时等号成立，
∴，
综上所述，.
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.