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2023-2024学年广东省肇庆市封开县广信中学、四会中学高一上学期第一次联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省肇庆市封开县广信中学、四会中学高一上学期第一次联考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据含有量词的否定得到其否定形式，进行判断即可.
【详解】，的否定为“，”.
故选：D
3．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，若开关A闭合，则灯泡B亮，而开关A不闭合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．
故选：C
4．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中可得答案.
【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中，
故图中的阴影部分表示的集合为.
故选：D.
5．某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案.
【详解】由题意，得，即，
∴，解得，
又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
7．已知函数，若，实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选：C
8．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．7D．8
【答案】C
【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由，得，解得或，
所以，
当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
二、多选题
9．已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.
【详解】选项A，∵，
∴，，
∴，故A正确；
选项B，取，，满足，
但，故B错误；
选项C，∵，∴.
又∵，由成立，则
∴，则有，∴，故C正确；
选项D，∵，∴，
∴，故D正确；
故选：ACD.
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AD
【分析】由基本不等式判断AC，由特殊值判断B，由二次函数的性质判断D.
【详解】，即（当且仅当时，取等号），故A正确；
当时，，故B错误；
（当且仅当时，取等号），故C错误；
，当时，取最小值，故D正确；
故选：AD
11．已知函数，则 （ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则或1
【答案】BC
【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，当时，；当时，；
的值域为，B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，C正确；
对于D，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为，D错误.
故选：BC.
12．设，定义符号函数，则下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据符号函数的定义，化简各选项中右边，验证与左边是否相等.
【详解】对于选项A，右边，而左边为x，显然不正确；
对于选项B，右边，而左边为x，显然不正确；
对于选项C，右边即为 而左边，显然不正确；
对于选项D，右边，而左边，显然正确．
故选：ABC
三、填空题
13．函数的定义域用区间表示为 .
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求法可得.
【详解】因为，
所以，
得且，
所以定义域为，
故答案为：
14．已知，，若，则z的取值范围是 .
【答案】
【分析】依据的范围，利用不等式性质即可求得z的取值范围
【详解】由，，可得，
则，则z的取值范围是
故答案为：
15．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为 .
【答案】0或1或4
【分析】分和两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解.
【详解】若，则，满足为的子集，此时A与B构成“全食”；
若，则，
由与构成“全食”或“偏食”，得或，解得或，
综上，实数的值为0或1或4.
故答案为：0或1或4.
16．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为 ．
【答案】cm
【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果.
【详解】如下图示，设且，则，，
由，，，故△△，
令，，故，
所以，整理得，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的面积取最大值时，AB的长为cm.
故答案为：cm
四、解答题
17．已知全集,,求：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）根据交集的定义进行求解；
（2）先求出，进而求解；
（3）求出，再根据并集定义进行求解.
【详解】（1）
（2），或；
（3）或，
故或=或
18．已知函数.
(1)求与；
(2)用分段函数的形式表示函数；
(3)画出函数的图象，并写出函数的值域.
【答案】(1)；；
(2)；
(3)图象见解析，值域为.
【分析】（1）直接代入即可求解；
（2）绝对值函数分类讨论写成分段函数；
（3）分段函数每一段的图像画出来，根据图像写出函数值域.
【详解】（1）由题可知，所以；
；
（2）当时，当时，，所以
（3）如图所示，
作出函数的图像，由图可知函数在上递减，此时值域为，在上为常数函数，此时值域为，
所以得值域为.
19．已知集合，．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简、，再由已知可得集合真包含于集合即可得到不等式组，解得即可；
（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m的不等式组求解．
【详解】（1）解：（1）由，即，
所以，
由，即，解得
所以，
∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，
∴，解得，即；
（2）解：因为命题为假命题，
所以为真命题，
设，则即，解得，所以，即．
20．已知.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由条件可得，则，由均值不等式可得答案.
(2)要证明，即证，由，根据（1）中的范围即可证明.
【详解】(1)：因为，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
所以的最小值为
(2)证明：因为，所以要证，需证
因为
令，由(1)得
易得当时，取得最小值
即，命题得证
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
五、应用题
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【答案】(1)
(2)选择长宽分别为的海报纸.
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.
六、解答题
22．已知．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式恒成立可得，解得即可；
（2）原不等式可化为，分类解得即可．
【详解】（1）若恒成立，即恒成立，
则，解得，
所以a的取值范围为.
（2）原不等式可化为，
令，解得或，
当，即时，解得或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或；
综上所述：当时，不等式的解集；
当时，解得；
当时，解得.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据含有量词的否定得到其否定形式，进行判断即可.
【详解】，的否定为“，”.
故选：D
3．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，若开关A闭合，则灯泡B亮，而开关A不闭合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．
故选：C
4．用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰•韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“韦恩图”．则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中可得答案.
【详解】解：由图可知，阴影部分在集合AB的公共部分，且不在集合C中，
故图中的阴影部分表示的集合为.
故选：D.
5．某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案.
【详解】由题意，得，即，
∴，解得，
又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
7．已知函数，若，实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选：C
8．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．7D．8
【答案】C
【分析】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由，得，解得或，
所以，
当时，，满足，
当时，，因为，所以或，得或，
综上，实数取值的集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C
二、多选题
9．已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的运算性质、特殊值法分析运算判断即可得解.
【详解】选项A，∵，
∴，，
∴，故A正确；
选项B，取，，满足，
但，故B错误；
选项C，∵，∴.
又∵，由成立，则
∴，则有，∴，故C正确；
选项D，∵，∴，
∴，故D正确；
故选：ACD.
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AD
【分析】由基本不等式判断AC，由特殊值判断B，由二次函数的性质判断D.
【详解】，即（当且仅当时，取等号），故A正确；
当时，，故B错误；
（当且仅当时，取等号），故C错误；
，当时，取最小值，故D正确；
故选：AD
11．已知函数，则 （ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则或1
【答案】BC
【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，当时，；当时，；
的值域为，B正确；
对于C，当时，，解得：；
当时，，解得：；
的解集为，C正确；
对于D，当时，，解得：（舍）；
当时，，解得：（舍）或；
的解为，D错误.
故选：BC.
12．设，定义符号函数，则下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据符号函数的定义，化简各选项中右边，验证与左边是否相等.
【详解】对于选项A，右边，而左边为x，显然不正确；
对于选项B，右边，而左边为x，显然不正确；
对于选项C，右边即为 而左边，显然不正确；
对于选项D，右边，而左边，显然正确．
故选：ABC
三、填空题
13．函数的定义域用区间表示为 .
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求法可得.
【详解】因为，
所以，
得且，
所以定义域为，
故答案为：
14．已知，，若，则z的取值范围是 .
【答案】
【分析】依据的范围，利用不等式性质即可求得z的取值范围
【详解】由，，可得，
则，则z的取值范围是
故答案为：
15．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为 .
【答案】0或1或4
【分析】分和两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解.
【详解】若，则，满足为的子集，此时A与B构成“全食”；
若，则，
由与构成“全食”或“偏食”，得或，解得或，
综上，实数的值为0或1或4.
故答案为：0或1或4.
16．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为 ．
【答案】cm
【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果.
【详解】如下图示，设且，则，，
由，，，故△△，
令，，故，
所以，整理得，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的面积取最大值时，AB的长为cm.
故答案为：cm
四、解答题
17．已知全集,,求：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）根据交集的定义进行求解；
（2）先求出，进而求解；
（3）求出，再根据并集定义进行求解.
【详解】（1）
（2），或；
（3）或，
故或=或
18．已知函数.
(1)求与；
(2)用分段函数的形式表示函数；
(3)画出函数的图象，并写出函数的值域.
【答案】(1)；；
(2)；
(3)图象见解析，值域为.
【分析】（1）直接代入即可求解；
（2）绝对值函数分类讨论写成分段函数；
（3）分段函数每一段的图像画出来，根据图像写出函数值域.
【详解】（1）由题可知，所以；
；
（2）当时，当时，，所以
（3）如图所示，
作出函数的图像，由图可知函数在上递减，此时值域为，在上为常数函数，此时值域为，
所以得值域为.
19．已知集合，．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简、，再由已知可得集合真包含于集合即可得到不等式组，解得即可；
（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m的不等式组求解．
【详解】（1）解：（1）由，即，
所以，
由，即，解得
所以，
∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合，
∴，解得，即；
（2）解：因为命题为假命题，
所以为真命题，
设，则即，解得，所以，即．
20．已知.
（1）求的最小值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由条件可得，则，由均值不等式可得答案.
(2)要证明，即证，由，根据（1）中的范围即可证明.
【详解】(1)：因为，所以
所以
当且仅当，即时等号成立
所以的最小值为
(2)证明：因为，所以要证，需证
因为
令，由(1)得
易得当时，取得最小值
即，命题得证
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
五、应用题
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【答案】(1)
(2)选择长宽分别为的海报纸.
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
（2）由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.
六、解答题
22．已知．
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式恒成立可得，解得即可；
（2）原不等式可化为，分类解得即可．
【详解】（1）若恒成立，即恒成立，
则，解得，
所以a的取值范围为.
（2）原不等式可化为，
令，解得或，
当，即时，解得或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或；
综上所述：当时，不等式的解集；
当时，解得；
当时，解得.
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