2022-2023学年河南省济源市第四中学高一下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源市第四中学高一下学期3月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列说法中正确的有（ ）
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ；
④平面上的数轴都是向量.
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误.
【详解】解：既有大小，又有方向的量统称为向量，
结合向量的定义可知仅有②④错误，
结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，
故选：B.
2．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量有三种关系
D．向量的模是一个正实数
【答案】B
【分析】选项A，由向量相等、相反的定义可判断；
选项B，由向量共线的定义可判断；
选项C，由向量的定义可判断；
选项D，零向量的模长为0，故可判断.
【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确；
由向量共线的定义可知，选项B正确；
由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确；
零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确.
故选：B
【点睛】本题考查了向量的定义、模长、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念，考查了学生概念理解的能力，属于基础题
3．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
【答案】B
【分析】利用向量夹角的定义逐一判断即可.
【详解】为锐角三角形，
A，与的夹角是钝角，A错误；
B，与的夹角是锐角，B正确；
C，与的夹角是锐角，C错误；
D，与的夹角是钝角，D错误.
故选：B
4．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形B．四边形是矩形
C．四边形是菱形D．四边形是正方形
【答案】A
【分析】由推出，再根据向量相等的定义得且，从而可得答案.
【详解】因为，故，即，
故且，故四边形一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选：A.
5．设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知即可求解.
【详解】解：因为，为的中点，
所以，
故选：A.
6．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=||B．与共线
C．与共线D．与共线
【答案】C
【分析】结合平面图形的几何性质逐项分析即可求出结果.
【详解】因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；
故选：C.
7．已知，设，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的数乘定义求解．
【详解】由得是线段上的点，且，如图，
因此，，．
故选：D．
8．下列五个命题，共中正确命题序号是（ ）
A．单位向量都相等B．对于任意向量，必有
C．若向量，共线，则D．若，则与的方向相同或相反
【答案】B
【分析】对于A：利用单位向量的定义进行否定；
对于B：对，同向、反向、不共线，分别讨论；
对于C：用共线向量的夹角为0或π，进行判断
对于D：利用零向量的方向是任意的进行判断.
【详解】对于A：单位向量的模都相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B：利用向量加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，：若，同向，必有；若，反向，必有；若，不共线，向量加法的三角形法则，必有.综上所述：对于任意向量，必有，故B正确；
对于C：若向量，共线，则，的夹角为0或π，所以，故C错误；
对于D：若，则与的方向相同或相反，这种说法是错误的，因为零向量与所有的非零向量都平行，但零向量的方向是任意的.
故选：B
9．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】首先在中，取的中点，连接，根据得到，从而得到，即可得到答案.
【详解】在中，取的中点，连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，即，即.
又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，
所以为等腰三角形.
故选：C
10．已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，再根据向量夹角求解即可.
【详解】解:因为，
所以，
所以，
因为，
所以，由于
所以
故选：B
11．已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.
【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．
又α为锐角，所以α＝30°．
故选：A
12．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】A
【分析】由向量加减的几何意义可得，结合已知有，根据三点共线知，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，如下图示：，又，，
∴，由三点共线，有，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到、、的线性关系，根据三点共线有，再结合基本不等式求最值.
二、填空题
13．给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为 ．
【答案】4
【分析】根据向量的基本概念和性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】∵向量的长度与向量的长度相等即||＝||，
∴①正确，
∵向量与向量平行，则两个向量的方向相同或相反或是有一个是零向量，
∴②不正确，
∵两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
∴③正确，
∵两个有共同终点的向量，不一定是共线向量，这样的向量起点可以在以终点为圆心的圆上．
④不正确，
∵向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D不一定在同一条直线上
⑤不正确，
∵有向线段可以表示向量，向量可以用有向线段来表示，
∴⑥不正确
∴有四个假命题，
故答案为：4
14．已知||＝2，||＝10，与的夹角为120°，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】根据投影向量的概念可知，
向量在向量方向上的投影向量为，
故答案为：
15．已知平面向量，，不共线且两两所成的角相等，，则 .
【答案】0
【分析】由向量的数量积的定义和向量的模的计算公式可得答案.
【详解】解：由题意三个平面向量，，两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是，
又同
，
故答案为：0.
三、双空题
16．已知平面向量，的夹角为120°，且，，则的值为 ，的最小值为 ．
【答案】
【分析】直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值
【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，，
所以，
，
所以当时，的最小值为，
故答案为： ，
四、解答题
17．已知，，且与的夹角为60°，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7.
(2).
【分析】(1)，由数量积公式即可求出答案.
(2)，展开根号中的括号，结合向量数量积的公式即可求解.
【详解】（1）解：.
（2）解：
.
18．已知向量，，
(1)分别求，的坐标；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得.
（2）求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】（1）依题意，，
.
（2）由（1）知，而，
由与向量平行，得，解得：，
所以实数k的值是.
19．已知，与的夹角为，设．
(1)求的值；
(2)若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)2；
(2)﹒
【分析】(1)将展开，通过数量积运算即可得到答案；
(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒
【详解】（1）；
（2）∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线．
∵，
∴，解得．
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得．
综上所述，实数t的取值范围是．
20．如图所示，在中，，，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
（1）用和分别表示和；
（2）如果，求实数和的值；
（3）确定点P在边BC上的位置．
【答案】（1）；；（2）；（3）点为靠近点的的三等分点
【分析】（1）根据平面向量线性运算可直接求得结果；
（2）将（1）的结论代入已知等式可得，根据相等向量的关系可构造方程组求得结果；
（3）设，，利用（2）的结论可利用表示出，又，从而构造方程组求得，从而确定点位置.
【详解】（1），
（2）由（1）知：
，解得：
（3）设，
由（2）知：
又
，解得：
，即
点为靠近点的的三等分点
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用线性运算表示出未知向量，根据相等向量的定义可构造方程组求得参数的值.
21．如图，在中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点.
（1）设，，设，求；
（2）若为线段的中点，直线与相交于点，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，根据平面向量基本定理即可求出得值，即可得出结果；
（2）由向量共线可设，，根据向量的线性运算以及平面向量基本定理求出的值，即可用和表示，再进行数量积运算即可求解.
【详解】（1），
因为，，所以
由平面向量基本定理可得且，所以.
（2）因为为线段的中点，
所以，
因为直线与相交于点，不妨设，，
所以，
因此，
又 ，
所以，
因此，
所以，解得：，
所以，
因为在中，，，，可得，
所以.
22．已知函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的对称中心；
(3)当时，求的最大值和最小值.
【答案】(1)最小正周期
(2)，
(3)，．
【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用三角函数图象和性质求得其对称轴方程．
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）利用的范围求得的范围，再根据正弦函数的性质求出函数在区间上最大值和最小值．
【详解】（1）解：
．
即
所以的最小正周期为，
（2）解：令，，解得，，所以函数的对称中心为，．
（3）解：当时，，所以
则当，即时，；
当，即时，．