2022-2023学年河南省济源市第四中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源市第四中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则
A．1B．-1C．iD．-i
【答案】C
【详解】试题分析：，故选C．
【解析】复数的运算、共轭复数．
【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．
2．平行四边形中，，，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则
故选：C
3．设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有两条直线与平行B．内有无数条直线与平行
C．，平行于同一条直线D．内有两条相交直线与平行
【答案】D
【分析】利用面面平行的判定定理和性质定理结合正方体结构即可确定选项.
【详解】
如图所示正方体中，
设平面为，平面为，
显然平面中有无数条直线与平面平行，但，故A、B错误；
又，但，故C错误；
由面面平行的判定定理和性质定理可知D正确.
故选：D
4．中，，，，则角C的大小为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】利用正弦定理及三角形的性质计算即可.
【详解】由正弦定理可知，
因为，所以，
故.
故选：A
5．如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是（ ）
A．5海里/时B．海里/时C．10海里/时D．海里/时
【答案】A
【分析】依题意有，在中，求得，从而求得速度．
【详解】依题意有，，，
从而，在中，求得，
这艘船的速度是（海里/时）．
故选：A
6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
7．若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由数量积的运算律代入计算，可得，再由投影向量的计算公式，即可得到结果.
【详解】因为向量与向量的夹角为，且，则，
即，又，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故选：D
8．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】因为，，，可以选定为基向量，因为点C是线段上的动点，所以,让后将其都转化为为基向量的运算，即可求出的最小值.
【详解】因为点C是线段上的动点，
所以,
所以
因为点D是的中点,所以,
所以,
又，，，即
所以，
，
又，
所以当时，的最小值.
故选：B.
9．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
10．A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是的中点，四面体的体积为，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知为球O的直径，设D到面的距离为，
易知等边的面积为，
所以，则球心O到面的距离为1，
设面，易知H为等边的外心，
所以，
故.
故选：B
11．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【答案】D
【详解】试题分析：A中由三垂线定理可知是正确的；B中AB，CD平行，所以可得到线面平行；C中设AC,BD相交与O，所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等，D中由异面直线所成角的求法可知两角不等
【解析】1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角
12．已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】由题意画出相关示意图，、分别是、的中点，连，，，根据向量在几何图形中的应用有，即得与共线即可知P与的关系.
【详解】
如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而，
∴，即有，有与共线，
∵的外接圆的的圆心是M，有，则，同理有，，
∴P是的垂心.
故选：D.
【点睛】本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运算求证点与三角形的关系.
二、填空题
13．设，i是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的四则运算及模长公式计算即可.
【详解】由，所以.
故答案为：.
14．已知向量，满足，，，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量的数量积与模长公式计算即可.
【详解】由可知，
所以.
故答案为：.
15．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB= .
【答案】
【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.
【详解】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
16．若△ABC的内角满足，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】试题分析：由正弦定理有,所以,,由于,故,所以的最小值是.
【解析】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.
【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把化为，再由余弦定理推论求出的表达式，还用到用均值不等式求出，再算出结果来.
三、计算题
17．（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值；
（2）i是虚数单位，，，若，求复数z．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用复数的概念，待定系数计算即可；
（2）根据复数的四则运算法则计算即可.
【详解】（1）由，
是纯虚数，所以；
（2）由.
四、解答题
18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
Ⅰ求角A的大小；
Ⅱ若，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得．
（2）由余弦定理结合基本不等式进行求解．
详解：（Ⅰ）由正弦定理可得：
从而可得：，即
又为三角形内角，所以，于是
又为三角形内角，所以．
（Ⅱ）由余弦定理：得：，
所以，所以.
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知 .
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若为的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）结合菱形中的对角线垂直可得到⊥面，进而可证明；（Ⅱ）求三棱锥体积只需求解底面积和高，求解时可首先将棱锥转换底面和顶点，使其底面积，高容易求解
试题解析：（1）证明：连接交于点
又是菱形
而⊥面⊥
(2) 由（1）⊥面
则
【解析】1.线面垂直的判定与性质；2.棱锥体积的计算
五、问答题
20．在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O，
(1)设，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的线性运算计算即可；
（2）利用三点共线以为基底得，再根据数量积公式计算即可.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）因为E，O，C三点共线，不妨设,
所以，
再设，所以，
所以，
所以，，
因为，
∴得，即．
六、证明题
21．如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点．
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论；
（2）取中点N，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性．
【详解】（1）如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点，
所以且，
又BC//平面PAD，面，且面面，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，故，
而面，面，则面.
（2）取中点N，连接，，
∵E，N分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
线段存在点N，使得平面，理由如下：
由（1）知：平面，又，
∴平面平面，又M是上的动点，平面，
∴平面PAB，
∴线段存在点N，使得MN∥平面．
七、解答题
22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，且.
(1)求；
(2)若，点满足，当的面积最大时，求和的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和的正弦公式，诱导公式求得正确答案.
（2）结合基本不等式求得，利用余弦定理求得和的值.
【详解】（1）依题意，
由正弦定理得，
，
,
,
由于，，所以，
依题意是锐角，即，
，为锐角，
且，
所以.
（2）依题意，
，
当且仅当时等号成立，
此时三角形是等腰直角三角形..
由于，所以，
在三角形中，由余弦定理得，
.