2022-2023学年河南省省济源市第一中学高一下学期4月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省省济源市第一中学高一下学期4月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.
【详解】，不符合题意.
，符合题意.
，不符合题意.
，不符合题意.
故选：B
2．已知，，则的最小值为
A．-1B．1C．4D．7
【答案】B
【解析】转化，由即得解
【详解】由题意：
故
故
故选：B
【点睛】本题考查了利用数量积研究向量的模长，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
3．已知为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】C
【分析】利用数量积的定义，向量数乘的含义及共线向量基本定理即可判断.
【详解】对于A，是与向量共线的向量，是与向量共线的向量，故A错误；
对于B，当时，但与可以不相等，故B错误；
对于C，若非零平面向量，则，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4．已知向量，若，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可.
【详解】且，
解得，
故选：D.
5．两个力作用于同一个质点，使该点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算两个力的和，与位移向量，做功就两个向量的数量积.
【详解】两个力作用于同一个质点，其合力大小为，
从点移到点，其位移,
则这两个力的合力对质点所做的功为.
故选：C.
6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.
【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，，，
设向量，
则，
所以.
故选：A
7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据所给点的坐标求出向量，的坐标及模长，再求出与同向的单位向量，最后根据投影向量的定义求解.
【详解】由题知点，，，，
有， ，
，.
与同向的单位向量为.
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：B.
8．下列结论错误的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．若，则方程一定有实根是假命题
C．在中，若“”则“”
D．命题：“，”，则：“，”
【答案】D
【分析】对于A, ，故A正确﹔对于B，∵时，的符号不能确定，故 B正确；对于C，利用正弦定理可以判断 C正确；对于D，利用存在量词命题的否定可以判断 D错误.
【详解】解：对于A,∵，∴，∴ A正确﹔
对于B，∵时，，不能确定方程是否有根，∴ B正确；
对于C，在中，∵，∴ C正确；
对于D，：，，∴ D错误.
故选：D.
9．在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
设外接圆的半径为，由正统定理得，，
所以，
所以外接圆的面积是.
故选：B.
10．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=x，b=3，．若此三角形有两解，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使三角形有两解，就是要使以圆心，半径为2的圆与有两个交点，取的度数为进行检验，确定出的范围，由已知，利用正弦定理表示出，再根据的范围，可得答案
【详解】解：在△ABC中，b=3，，
要使三角形有两解，就是要使以圆心，半径为2的圆与有两个交点，
当时，圆与相切，当时，交于点，也就是只有一个解，
所以，即，
因为在△ABC中，b=3，，所以由正弦定理得，
即，
因为，即
所以
故选：B
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用余弦定理角化边，由探求出的形状，再结合充分条件、必要条件的定义直接判断即可.
【详解】在中，由结合余弦定理得：，整理得：
，即，则或，为等腰三角形或直角三角形，
即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证有成立，
所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
12．在中，为边的中点，且满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律得到，从而求出，再根据面积公式计算可得；
【详解】解：在中，为的中点，则，
所以.
因为，，则，
所以，，
所以.
故选：A
二、填空题
13．已知，为单位向量，且，则向量与的夹角为 .
【答案】
【解析】根据得到向量的数量积为，再根据的模长以及向量数量积的计算公式求解出，从而可求.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
14．已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 .
【答案】3
【分析】根据向量的加法运算，确定船行驶的方向与水流方向和船实际的方向之间的关系，进而解三角形可得.
【详解】设船在静水中的速度为，船的实际速度为，水流速度为，如图所示，
∵，
∴，即水流的速度大小为.
故答案为：3.
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式可得，然后使用余弦定理可得答案.
【详解】由题意知，则，由余弦定理得，
即，则.
故答案为:.
16．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】根据条件：，
因为G是的重心，，
，
又M，G，N三点共线，.
，
，
当且仅当，即 时取等号成立.
的最小值为，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了基底向量、向量的共线定理性质运用、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.
三、解答题
17．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．
（1）试用基底，表示；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．
【答案】（1）,；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底，表示；
（2）由,得出，即可证明结论.
【详解】（1）由题可知：＝，

（2），
共线，
且有一公共点，
∴E，G，F三点共线．
18．已知，
(1)求的值；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，
（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）因为，，
所以，，得，
所以
（2）因为，
，
所以，
因为，
所以，
即与的夹角为
19．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若为锐角，求的范围；
（3）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）且；（3）或.
【详解】试题分析：（1）利用向量共线，直接求解即可；（2）利用向量的数量积列出不等式，即可求出结果；（3）利用向量的垂直条件，列出方程求解即可．
试题解析：（1）向量，，，可得，∴;
（2）若为锐角，则且不同向．
，∴，
当时，同向．∴且；
（3），，
，可得．
即． 解得：或．
【解析】（1）平面向量的平行关系；（2）向量的数量积.
20．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，．
(1)求的值；
(2)求AD的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，再根据二倍角公式求解即可得；
（2）结合（1）得，进而在中，根据余弦定理得.
【详解】（1）解：在中，因为，，，
由余弦定理，可得，
所以．
又由正弦定理可得，
所以．
所以．
（2）解：由（1），因为为锐角，可得．
在中，根据余弦定理，可得
，
所以．
21．已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求△的面积S的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
（2）由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
22．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求角B大小；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据条件由降幂公式结合正弦定理可得，即，再由角的范围可得出答案.
（2）由由正弦定理有，再根据（1），可得，然后由为锐角三角形求出角的范围，即可求出答案.
【详解】解：（1），
，
，即
，所以
由，，
，.
（2）由正弦定理知：
，
，，
.
由于为锐角三角形，
，
，，
当时，，
当或时，，
，
.
所以周长的取值范围：
【点睛】本题考查利用正弦定理进行边化角，求解三角形的内角，和利用正弦定理求三角形周长的范围，属于中档题.