2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学十一校联考高一上学期期中考试数学word版含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AD
12.
【答案】BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
【答案】13
14.
【答案】 ①. ②.
15.
【答案】
16.
【答案】14
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；
（2）根据得到，然后分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
当时，，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，所以．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，m的取值范围为．
18. 已知正实数，满足．
（1）求的最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）9 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【小问1详解】
解：因为，，，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．
故的最大值为9．
【小问2详解】
证明：（方法一）因为，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
（方法二）由（1）得，则，故，即得证．
19. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值.
【答案】（1）当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
（2），最大值为万元
【解析】
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
【小问2详解】
依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
21. 已知关于的不等式．
（1）若原不等式的解集为或，求的值；
（2）若，且原不等式的解集中恰有8个质数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
（2）根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，1是关于的方程的两根，且，
则，，
解得．
【小问2详解】
不等式可化，
因为，所以关于的方程的两根为1，，
且，
因为关于的不等式的解集为：，
解集中恰有8个质数，
所以，
解得，即的取值范围为．
22. 已知定义在上的函数满足，，．
（1）试判断的奇偶性，并说明理由．
（2）证明：．
【答案】（1）偶函数，证明见详解
（2）证明详解
【解析】
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【小问1详解】
为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
【小问2详解】
令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.