2023-2024学年四川省重庆市第二外国语学校高一上学期期中数学试题含答案

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（全卷共四个大题满分：150分考试时间：120分钟）
一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合,集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据补集和并集的定义直接求出即可.
【详解】，.
故选：C.
【点睛】本题考查补集和并集的求法，属于基础题.
2. 不等式的解集是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为，所以，
即不等式的解集是.
故选：D.
3. 已知， ， 则是的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充要也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A
4. 设函数，则
A. 0B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.
【详解】由函数的解析式可得：，
则.
本题选择B选项.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
5. 函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的性质结合图象的特征，逐一判断即可得解.
【详解】设，易得的定义域为，
由，所以该函数为偶函数，可排除A；
由可排除D；
当时，，，可排除B.
故选：C.
6. 定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小.
【详解】由函数图象关于轴对称，
则，，
又函数在区间是单调递减函数，
所以，
即，
故选：B.
7. 已知定义在上的函数，如果满足：对任意两个不相等的实数，都有，则称函数具有“下凸性”．则下列函数：①；②；③；④.其中具有“下凸性”函数的个数是（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合幂函数的的图象根据“下凸性”定义判断．
【详解】的几何含义是：在区间上，图象上任意两点连线的中点，位于中点对应的函数值之上，幂函数、在第一象限的图象符合此性质，所以正确选项为C．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，考查幂函数的性质，正确理解新定义是解题关键．
8. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解.
【详解】因为在上单调递增，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递增，所以，即；
同时，在处，，即，即，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
综上：，即.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等性质分别判断ABC选项，再根据命题的否定可判断D选项.
【详解】A选项：，，即，A选项正确；
B选项：，若，则，若，则，若，则，B选项错误；
C选项：，，所以，C选项正确；
D选项：命题“，”的否定是“，”，D选项正确；
故选：ACD.
10. 设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是偶函数
C. 是奇函数D. 是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据奇偶性定义判断．
【详解】由题意，为奇函数，A错；
，B正确；
，C正确；
，D错误．
故选：BC．
11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域是
B. 函数的图象与直线的交点最多有1个
C. 函数与函数是相同函数
D. 函数的值域为
【答案】B
【解析】
【分析】由复合函数定义域求法求的定义域判断A；根据函数的定义判断B；根据同一函数的概念判断C；由指数函数的性质求得值域判断D.
【详解】对于A，由已知得，即的定义域是，A错；
对于B，由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，故函数的图象与直线的交点最多有1个，B对；
对于C，的定义域为，的定义域为，所以函数与函数不是相同函数，C错；
对于D，的定义域为，且，所以，即值域为，D错.
故选：B
12. 已知a，b都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ）
A. B. +C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用均值不等式即可判断每个选项
【详解】，且，
对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，由选项A知，，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 计算的结果为________．
【答案】##1,5
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则及指数幂的性质计算即可.
【详解】原式.
故答案为：
14. 函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：.
15. 请写出一个同时满足以下条件的函数：___________.
①的定义域是；
②是偶函数且在上单调递减；
③的值域为.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】从常见的偶函数来思考即可.
【详解】符合题意，显然的定义域为，
，是偶函数，，值域为，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减.
故答案为：（答案不唯一）
16. 函数，当时的最大值为M，最小值为N，则________．
【答案】
【解析】
【分析】求出的奇偶性即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，
，
函数是奇函数，，
在中，
当时的最大值为M，最小值为N，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，，，全集．
（1）求；；
（2）如果，求a的取值范围．
【答案】（1）；．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据集合并集、补集、交集运算求解；
（2）根据集合交集的运算结果求参数即可.
【小问1详解】
∵，，
∴，
．
【小问2详解】
∵，，，
．
18. 已知关于x的不等式.
（1）若该不等式的解集为，求实数a；
（2）若该不等式的解集为，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到和为方程的两根，根据韦达定理，即可得出结果；
（2）根据题意，得到恒成立，分别讨论和 两种情况，即可得出结果；
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根，因此 ，解得；
【小问2详解】
因为不等式的解集为，
①当时，原不等式化为，符合题意；
②当时，只需，解得 ；
综上，实数的取值范围是；
19. 已知二次函数，．
（1）若，写出函数的单调增区间和减区间，并求出函数的值域．
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为，减区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，利用配方法求单调区间，进而求得最值，即可求得值域；
（2）由二次函数的性质求实数的取值范围.
【小问1详解】
若，则
则函数的单调增区间为，减区间.
所以当时，，
又当时，，当时，，即，
所以函数的值域为；
【小问2详解】
因为，即抛物线的对称轴为，
若函数在上是单调递增函数，则，则；
若函数在上是单调递减函数，则，则.
所以实数的取值范围为.
20. 某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期（8:00至10:00）的车流量问题，经过长期的观察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型.模型如下，设车流量为（千辆/时），平均车速为（千米/时），则.
（1）若要求在高峰期内，车流量不低于5千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？
（2）在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？
【答案】（1）
（2）当时，
【解析】
【分析】（1）根据条件解不等式即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由，
由题意可知，，则，
化简得，所以；
【小问2详解】
因为，
则，
当且仅当时，取最大值，
即，.
21. 已知函数的图像经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
（1）求的解析式；
（2）函数，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，结合图像经过原点可得的值，进而得结果；
（2）通过（1）得的表达式，令，结合二次函数性质即可得结果.
【小问1详解】
∵函数的图像无限接近直线但又不与该直线相交
∴，
又∵函数的图像经过原点，
∴，即，
∴的解析式为.
【小问2详解】
由（1）易得，，
令，
即，，
故当，即时，的最小值为.
22. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，且时，有成立．
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）解不等式：；
（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；
（2）；
（3）或或.
【解析】
【分析】（1）根据定义法即可证明函数的单调性；
（2）利用函数的单调性得到，解不等式组可得结果；
（3）不等式先对恒成立，得到，再由对所有的恒成立，可求出的取值范围.
【小问1详解】
函数在上为增函数，证明如下：
设任意，且，
在中，令，，可得，
又∵是奇函数，∴，
∴，∵，∴，
∴，即，
故函数在上为增函数.
【小问2详解】
由(1)知函数在上为增函数且为奇函数，
∴不等式可化，
有，
由，得，
由，得，得，得或，得或，
所以由，得，
由以及得，，即，
得，得或，
综合得，
所以原不等式的解集为.
【小问3详解】
由（1），得函数在上为增函数，，且最大值为，
因为对所有的恒成立，
所以对所有的恒成立，
即对所有的恒成立，
令，则对所有的恒成立，
所以，即，解得或或.
所以取值范围是或或.