2023-2024学年浙江省宁波市外国语学校五校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

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考生须知：
1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再求补集可得答案.
【详解】集合，
则.
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分必要条件的判断方法判断即可.
【详解】当时，取，
显然无意义，故不成立，则充分性不成立；
当时，，则，
所以，则必要性成立；
综上：“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．
【详解】命题为假命题，
所以为真命题，
则，解得
故选：D
4. 已知，，且，下列结论中错误的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是2
C. 的最小值是9D. 的最小值是
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式判断各选项即可.
【详解】对于A，由，，且，由，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，即的最大值为，故A正确；
对于B，由，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，故C正确；
对于D，由，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，故D正确.
故选：B.
5. 设是函数的一个减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的翻折变换作出函数图象，观察图象可得.
【详解】函数，
先作函数的图象，如图：
根据函数图象的翻折变换可得的图象如图：
由图可知，当时，是函数的一个减区间，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
6. 已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性求得函数，然后再代入计算函数值．
【详解】，则，
又函数是偶函数，是奇函数，则，
所以，
，
故选：B．
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较.
【详解】在为增函数，
，即，
为减函数，
，即，
，
故选：C.
【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.
8. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（ ）
A. 奇函数且在上单调递增B. 偶函数且在上单调递减
C. 非奇非偶函数且在上单调递增D. 非奇非偶函数且在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知求出a=，从而函数f（x）=，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．
【详解】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），
∴2a=，解得a=，
∴函数f（x）=，
∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．
故选C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断定义域和对应关系即可.
【详解】A选项：由得的定义域为，
由解得的定义域为，A错误；
B选项：由得的定义域为，
由解得的定义域为，
且，故B正确；
C选项：和的定义域都是R，，对应关系相同，故C正确；
D选项：对应关系不同，故D错误.
故选：BC
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是或
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或，所以D正确.
故选：ACD
11. 如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，
则与同号，由此可知，选项A，B正确；
对于选项C，D，因为的大小关系无法判断，
则的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.
故选：AB
【点睛】结论点睛：
若函数在上是增函数，对于任意的，则有（或者）；
若函数在上是减函数，对于任意的，则有（或者）；
12. 形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A. 4B. 12C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
非选择题部分
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的运算法则计算．
【详解】，
故答案为：．
14. 集合的子集个数是______．
【答案】32
【解析】
【分析】确定出集合中元素个数，由子集的概念可得．
【详解】由已知，有5个元素，它子集个数为．
故答案为：32.
15. 若函数在区间上既有最小值又有最大值，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】当，讨论函数单调性，当时，利用函数图象分析可得.
【详解】当时，在上，对称轴为，
所以，函数在上单调递增，所以有最大值，无最小值；
当时，在上，在上单调递增，所以有最大值，无最小值；
当时，，函数图象如图所示，
在和上单调递增，在上单调递减，
要使在上既有最小值又有最大值，
则，即实数的取值范围为.
故答案为：
16. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由奇偶性求得的解析式，从而可得，然后由函数的单调性求解不等式．
详解】由已知时，，即，
所以在R上是增函数，且，
不等式化为，所以，，
所以，在时恒成立，
，，所以的最小值是，
故答案为：．
四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若时，求实数的取值范围．
【答案】（1），.
（2）.
【解析】
【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的运算可得；
（2）根据集合的包含关系可解.
【小问1详解】
由解得，
当时，，故，.
【小问2详解】
由题知，
（ⅰ）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当，即时，，
因为，所以，解得，所以．
综上所述，实数m的取值范围为.
18. 已知命题，命题.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果.
【小问1详解】
若命题为假命题，则命题为真命题，
即在恒成立，所以，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
当命题为真命题时，因为，
所以，解得或，
因为为真命题，则，
又由（1）可知，命题为真命题时，
所以且，即实数的取值范围是.
19. 已知二次函数．
（1）记的最小值为，求的解析式；
（2）记的最大值为，求的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，分类讨论单调性和最小值，求出，最后写成分段函数的形式即可；
（2）结合二次函数的图像和性质，分类讨论函数最大值，求出，最后写成分段函数的形式即可．
【小问1详解】
二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，
（）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值；
（）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值；
（）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时的最小值；
综上所述，.
【小问2详解】
二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，
（）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值；
（）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值；
综上所述，.
20. （1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值．
【答案】（1）25；（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）妙用“1”求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为25.
（2）因为，
所以
，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为.
21. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
【答案】（1）500 （2）不能获利，该市政府需要补贴元
【解析】
【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.
【小问2详解】
设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.
22. 已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）判断并用定义证明函数在上的单调性；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【小问1详解】
由，且是奇函数，得，
于是，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意.
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以，函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即
所以，函数在上单调递增．
【小问2详解】
函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
【小问3详解】
由题意知，
令，则，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，