2023-2024学年浙江省余姚中学浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

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考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 设集合，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出或，再由集合的交、并、补进行运算即可.
【详解】由题可知或，所以，
因为，所以.
故选：A
2. 下列四个结论，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的运算法则和运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A不正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D不正确.
故选：C.
3. 已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，由可得，，故A错误；
对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
4. 已知函数是定义在实数集上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的性质即可对A，B，C，D四个选项逐一判断，即可得到答案．
【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，
，
对于A，，都使，故A错误；
对于B，若，则不存，，故B错误；
对于C，，，正确；
对于D，若，则不存在，，故D错误；
故选：C．
5. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合指数幂运算以及指数函数、幂函数单调性逐项分析判断
【详解】对于选项A：因为，，，
不满足，故A错误；
对于选项B：因为在R上是单调递减函数，不合题意，故B错误；
对于选项C：因为，，，
不满足，故C错误；
对于选项D：因为，，，
满足，且在R上是单调递增函数，故D正确．
故选：D.
6. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时的最小值为
故选：D
7. 已知函数的定义域为R，函数为奇函数，且，则的值为（ ）
A. B. C. 0D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由条件求得，从而求得的值.
【详解】因为函数为奇函数，
所以有，又，所以，
得，则
即，所以
故选：B
8. 设，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项A、B；由，，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选项D.
详解】构造函数，则，
因函数在R上为单调递增函数， 所以在R上为单调递减函数，
所以，所以，，故选项A正确，选项B错误；
因为，，所以，故选项C错误；
因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误.
故选：A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各结论中正确的是（ ）
A. 与表示同一函数
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 设，则 “”是“”的必要不充分条件
D. “函数的图象过点”是“”的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A，根据函数的定义域和解析式相同可判断；选项B，由抽象函数的定义域可得；选项C：由得或，进而可判断；选项D：分别从充分性和必要性两方面判断即可.
【详解】选项A：，，
因为与定义域，解析式一致，故A正确；
选项B：分母不能为0，所以，又，得，
所以的定义域为，故B不正确；
选项C：若，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
选项D：若函数的图象过点，则，
若，则当时，，即函数的图象过点，
“函数的图象过点”是“” 的充要条件，故D正确.
故选：AD
10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 的图象关于原点对称B. 的图象关于y轴对称
C. 在上单调递增D. 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，然后判断函数的单调性并求得值域.
【详解】因为，定义域为，，
所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，故A错误，B正确；
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，而，在单调递增，
所以由复合函数单调性可知在单调递增，又为偶函数，
所以在单调递减，故C错误；
因为，由，有，所以，故，
即，故D正确.
故选：BD
11. 如图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为且，．则下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月增加的面积都相等
B. 第6个月时，浮萍的面积会超过
C. 浮萍面积从蔓延到只需经过5个月
D. 若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意结合函数图象可得，进而可得；由函数图象的类型可判断A；代入可判断B；代入、可判断C；代入、、，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.
【详解】由题意可知，函数过点和点，则，
解得（负值舍去），
函数关系式为，
对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；
对于B，当时，，故选项B正确；
对于C，令得；令得，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项C正确；
对于D，令得；令得；令得；
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.
12. 已知函数与满足：对任意，都有则下列命题正确的是（ ）
A. 若是偶函数，则函数也是偶函数
B. 若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值
C. 若是增函数，则不是减函数
D. 若是减函数，则不是增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A，举反例排除B，利用函数单调性的定义可判断CD，从而得解.
【详解】对于A，若是偶函数，则，
若对任意恒成立，
令，，则，
因为，所以，
所以，所以函数也是偶函数，故A正确；
对于B，若有最大值和最小值，
不妨令，，
则函数的最大值为，最小值为，，
对任意的、，恒成立，
但函数既无最大值，也无最小值，故B错误；
对于C，设，因为是上的增函数，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，故函数不是减函数，故C正确；
对于D，设，因为是上的减函数，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，故函数不是增函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是如何去绝对值，一种是利用得，一种是利用单调性去绝对值.
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】， .
故答案为：
14. 已知幂函数的图象过点，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及函数所过的点求出函数解析式，即可得解.
【详解】由幂函数的定义得，
再将点代入得，从而，则幂函数，
.
故答案为：.
15. 设函数，存在最大值，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】对进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得的取值范围.
【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，
故函数存在最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，，
当时，函数在上单调递增，此时 ，
于是时函数存在最大值.又，解得 ；
④当时，函数在上单调递减， ，
在上单调递增，此时
故当，解得，
又，故；
综上，的取值范围是时函数存在最大值.
故答案为：
【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.
16. 设函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的值为__________.
【答案】或或
【解析】
【分析】由，得到，令，，根据与的交点坐标为，联立方程组，根据，求得，作出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由方程，可得，即，
令，，可得的顶点为在上，
又由与的交点坐标为，，
联立方程组，整理得，
由，解得.
作出函数的图象，如图所示，
要使得有两个不同的解，则函数过时，显然符合，此时 ，
由此实数的取值范围是或或 .
故答案为：或或 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式，解得集合的元素，根据题意，明确集合的元素，结合并集运算，可得答案；
（2）利用分类讨论思想，结合题意，分情况建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】
根据题意，集合.
当时，，则；
【小问2详解】
，则，
若，则，此时；若，则有，此时m无解.
综合知实数m的取值集合为.
18. 函数为定义在上的奇函数，已知当时， .
（1）当时，求的解析式 ；
（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案.
（2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明.
（3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案.
【小问1详解】
当时，，则，
因为函数为奇函数，所以，
即时，的解析式为；
【小问2详解】
在上的单调递增，
证明如下：
任取，，且，则，
因为，，且，所以，，，
则，即，
所以在上的单调递增；
【小问3详解】
在上的单调递增，且函数为上的奇函数，
故为上的增函数.
由，，
于是 ，所以，
解得，即.
19. 某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）万件与年促销费用万元满足关系式（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）求的值，并将该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；
（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？
【答案】（1）2；；
（2）厂家的年利润最大值为万元，为此需要投入万元的促销费用.
【解析】
【分析】（1）由时，，可求得的值，得到，而每件产品的销售价格为，代入利润关于的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得，当且仅当，即时取等号，从而可求出年利润的最大值.
【小问1详解】
解：由题意可知：当时，（万件），
，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润
，
即.
【小问2详解】
解：，
，则，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元），
该厂家的年促销费用投入万元时，厂家的年利润最大，最大为万元.
20. 设函数为实数 .
（1）当时，求方程的根；
（2）当时，设函数，若对任意的，总存在着，使得成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，根据题意得到，即可求解；
（2）当时，可得，利用换元法求得，再由一次函数的性质，求得，结合题意，得到，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，
由，可得，所以或，
解得或.
【小问2详解】
解：当时，可得，
设，，所以，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
又由，所以，即
又由，可得，
因为对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为
21. 如果函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.
（1）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；
（2）已知定义在R上函数具有“性质”，当时，若有8个不同的实数解，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；
（2）根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
具有“性质”，对恒成立，是偶函数，
当时，，
当时，；当时，；
【小问2详解】
函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，如下图所示：

若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以
所以t的取值范围为.
22. 已知定义在上的函数 .
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，若对任意，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，将，根据二次函数的性质可得单调区间；
（2）根据结合的对称轴对进行分类讨论，根据对任意，
恒成立，得到与的关系式，进而可得的最小值.
【小问1详解】
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
因为,，，
①当时，，
对称轴，所以在上单调递增，
故，得，
所以，
又因，故当时，取得最小值，
故当，时，的最小值为 ；
②当时，
对称轴都是，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则；
（i）当时，，
则，
当，时，的最小值为 ；
（ii）当时，，得，
则；
③当时，，对称轴，
（i）当时，在上单调递增，在上单调递减，
，得，则；
（ii）当时，在上单调递增，
，得，
则，
综合①②③当，时，的最小值为 .
【点睛】关键点睛：本题关键时对进行合适分类，通过，，即对称轴，
将分为，，三大类，再结合恒成立，得到不同