2023-2024学年浙江省余姚中学浙南名校联盟高一上学期期中联考数学试题word版含答案

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】B
【解析】
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
【答案】AD
10. 【答案】BD
【答案】BCD
12.
【答案】ACD
非选择题部分
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】##
14.【答案】##
15.【答案】
16.【答案】或或
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式，解得集合的元素，根据题意，明确集合的元素，结合并集运算，可得答案；
（2）利用分类讨论思想，结合题意，分情况建立不等式组，可得答案.
【小问1详解】
根据题意，集合.
当时，，则；
【小问2详解】
，则，
若，则，此时；若，则有，此时m无解.
综合知实数m的取值集合为.
18. 函数为定义在上的奇函数，已知当时， .
（1）当时，求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案.
（2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明.
（3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案.
【小问1详解】
当时，，则，
因为函数为奇函数，所以，
即时，的解析式为；
【小问2详解】
在上的单调递增，
证明如下：
任取，，且，则，
因为，，且，所以，，，
则，即，
所以在上的单调递增；
【小问3详解】
在上的单调递增，且函数为上的奇函数，
故为上的增函数.
由，，
于是，所以，
解得，即.
19. 某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）万件与年促销费用万元满足关系式（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）求的值，并将该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；
（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？
【答案】（1）2；；
（2）厂家的年利润最大值为万元，为此需要投入万元的促销费用.
【解析】
【分析】（1）由时，，可求得的值，得到，而每件产品的销售价格为，代入利润关于的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得，当且仅当，即时取等号，从而可求出年利润的最大值.
【小问1详解】
解：由题意可知：当时，（万件），
，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润
，
即.
【小问2详解】
解：，
，则，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元），
该厂家的年促销费用投入万元时，厂家的年利润最大，最大为万元.
20. 设函数为实数 .
（1）当时，求方程的根；
（2）当时，设函数，若对任意的，总存在着，使得成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，根据题意得到，即可求解；
（2）当时，可得，利用换元法求得，再由一次函数的性质，求得，结合题意，得到，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，
由，可得，所以或，
解得或.
【小问2详解】
解：当时，可得，
设，，所以，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
又由，所以，即
又由，可得，
因为对于任意，总存在，使得成立，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为
21. 如果函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.
（1）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；
（2）已知定义在R上函数具有“性质”，当时，若有8个不同的实数解，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；
（2）根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
具有“性质”，对恒成立，是偶函数，
当时，，
当时，；当时，；
【小问2详解】
函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以
所以t的取值范围为.
22. 已知定义在上的函数 .
（1）当时，求的单调区间；
（2）设，若对任意，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，将，根据二次函数的性质可得单调区间；
（2）根据结合的对称轴对进行分类讨论，根据对任意，
恒成立，得到与的关系式，进而可得的最小值.
【小问1详解】
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
因为,，，
①当时，，
对称轴，所以在上单调递增，
故，得，
所以，
又因，故当时，取得最小值，
故当，时，的最小值为；
②当时，
对称轴都是，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则；
（i）当时，，
则，
当，时，的最小值为；
（ii）当时，，得，
则；
③当时，，对称轴，
（i）当时，在上单调递增，在上单调递减，
，得，则；
（ii）当时，在上单调递增，
，得，
则，
综合①②③当，时，的最小值为 .
【点睛】关键点睛：本题关键时对进行合适分类，通过，，即对称轴，
将分为，，三大类，再结合恒成立，得到不同