2022-2023学年四川省凉山州西昌市高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省凉山州西昌市高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数不等式的解法，求出集合，再利用集合交集的运算即可求出结果.
【详解】由，得到，所以，
又，所以，
故选：A.
2．下列关系中，正确的有（ ）．
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断.
【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确；
对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误；
对于③：因为为自然数集，，正确；
所以正确的有3个.
故选：C.
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【分析】根据零次方、分式以及根式的意义列式求解.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域是且.
故选：C.
4．若，且，则（ ）．
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】根据条件求出的解析式，再利用即可求出结果.
【详解】因为，令，则，
所以，即，
又，所以，得到，
故选：A.
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法即可求出结果.
【详解】因为时，得，故，即可以推出，
又时，得或，取，，满足，但不满足，
即推不出，故“”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
6．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】分析可知，关于的方程的两个根分别为、，且，结合韦达定理可得出、关于的等量关系，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或，
则关于的方程的两个根分别为、，且，
所以，，，所以，，，
所以，不等式即为，即，
解不等式可得，
因此，不等式的解集为.
故选：B.
7．对于任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】参变分离后，利用单调递减求得最大值，即可求解.
【详解】因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，不等式恒成立，
因为在单调递减，
所以在单调递减，
所以当时，，所以.
故选：D.
8．已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一次函数与二次函数的单调性，结合分段函数的性质得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
9．已知命题p：“，”，则下列说法正确的是（ ）．
A．：，B．：，
C．p是真命题，是假命题D．p是假命题，是真命题
【答案】BC
【分析】根据特称命题的否定判断AB；根据一元二次方程结合命题的否定与原命题的真假性之间的关系判断CD.
【详解】对于选项AB：：，，故A错误，B正确；
对于选项CD：因为，解得，
可知p是真命题，所以是假命题，故C正确，D错误；
故选：BC.
10．已知、是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最大值
B．若，则有最大值
C．若，则有最大值
D．若，则有最小值
【答案】BCD
【分析】将代数式与相乘，展开后结合基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；利用基本不等式求出的最大值，可判断C选项；由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.
【详解】因为、是正实数，
对于A选项，若，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，有最小值，A错；
对于B选项，若，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值，B对；
对于C选项，若，则
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值，C对；
对于D选项，若，即，即，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故有最小值，D对.
故选：BCD.
11．下列说法正确的是（ ）．
A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分条件
C．当时，则D．“”是“”的必要条件
【答案】ABD
【分析】将分式不等式转化一元二次不等式运算求解，判断A；根据充分条件以及必要条件的概念可判断BD；取特值举反例可判断C.
【详解】对于选项A：对不等式整理得，
即，解得，
则不等式的解集是，故A正确；
对于选项B：当时，一定有成立，
所以“”是“”成立的充分条件，故B正确；
对于选项C：当时，例如，则，故C错误；
对于选项D：当时，一定成立，
所以“”是“"的必要条件，故D正确，
故选：.
12．设函数，则称函数为的“”界函数，若给定函数，，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意将函数表示为分段函数的形式，然后结合函数、的解析式逐项验证个选项，即可得出合适的选项.
【详解】由，即，解得，
所以，.
对于A选项，，，
所以，，A对；
对于B选项，，，
所以，，B错；
对于C选项，，
，所以，，C对；
对于D选项，，
，所以，，D对.
故选：ACD.
三、填空题
13．满足的集合的个数是 ．
【答案】
【分析】列举出满足条件的集合，即可得解.
【详解】满足的集合有：、、、、
、、、，
所以，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
14．函数在区间上单调，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】对函数在区间上是增函数、减函数进行分类讨论，即可求出实数的取值范围.
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线.
当函数在区间上单调递增时，则；
当函数在区间上单调递减时，则.
综上所述，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
15．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用抽象函数的定义域的求法即可求出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
由，得到，故函数的定义域为，
由，即，得到，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
16．设函数是定义在上的奇函数且，对任意的，都有成立．若对任意的都有恒成立，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意判断出在上单调递减，根据对任意的都有恒成立，可列式对任意的恒成立，根据临界条件求解即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以当且时，有等价于，
所以在上单调递减．
所以．
因为对任意的都有恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
设，则，解得
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
四、计算题
17．（1）计算；
（2）已知正实数x，y满足，求的最小值．
【答案】（1）25；（2）4
【分析】（1）根据指数幂运算求解；
（2）利用基本不等式运算求解.
【详解】（1）原式；
（2）因为x，y为正实数，由基本不等式知．
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以的最小值为4．
五、问答题
18．设集合，，其中；
(1)当，求集合；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求出集合、，利用并集的定义可求出集合；
（2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数满足的等式与不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，
因此，当时，.
（2）解：对于方程，，
因为，
①当时，，解得；
②当集合中只有一个元素时，，即，此时，，不合题意，舍去；
③当时，，由此可知，和是方程：两根，
所以，，此时无解；
综上知实数的取值范围是．
19．（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分析可知，，且，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，
由此可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，关于的方程有实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】解：（1）因为是成立的充分不必要条件，所以，，
因为，则，所以，，
所以，，解得，
当时，，满足，
所以，存在实数满足题意，且实数的取值范围是；
（2）因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题．
则关于x的方程有实根．
当时，则有，解得，合乎题意；
当时，则有，解得且.
综上所述，的取值范围为．
六、应用题
20．某公司要建造一个长方体的无盖储水池，底面积为1600m，深3m．如果池底每1m的造价为120元，池壁每1m的造价为100元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
【答案】当水池地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价为240000元
【分析】设池底一边长为x m，根据题意可得水池总造价，结合基本不等式运算求解.
【详解】设池底一边长为x m，则另一边长为m，水池总造价为W元．
由题可知
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当水池地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价为240000元．
七、计算题
21．已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且；
(1)若对任意的正实数、都有，求最小值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出关于、的等式组，解出这两个函数的解析式，分析函数的单调性，结合奇函数的性质可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值；
（2）利用复合函数法分析函数在上的单调性，可得出，可得出，结合基本不等式可求出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数且，
则，即，
所以，，解得，
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
由可得，则，所以，，
又因为、均为正实数，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故有最小值.
（2）解：定义域为，且函数为偶函数，
当时，令，则，
因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由，
因为，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
22．已知函数，．
(1)当时求的解集；
(2)当时．若存在使得对任意的，都存在使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对化简，转换为一元二次不等式求解集问题.
（2）根据，转换为解集包含关系求解.
【详解】（1）
，解集为
（2）令，，则，，，记，
记值域为集合B．则由题意得
，对称轴，开口向上
1）当即时在单增，
∴
2）当即时在单减，单增，
∴
3）当即时在单减单增，
4）当即时在单减，
∴
综上：