2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县新安中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，计算题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题，
原命题的否定是：，
故选：C．
2．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】A
【分析】根据题意由幂函数定义可得，代入点坐标可解得，即可求得结果.
【详解】由幂函数定义可得，
将点代入即可得，解得，
所以可得.
故选：A
3．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.
【详解】
故选：B
4．已知函数满足对任意，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数在上单调递增，则可根据单调性列不等式，即可得实数a的取值范围.
【详解】解：函数满足对任意，都有 成立，
则函数在上单调递增，所以，解得.
故选：B.
5．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解.
【详解】因为函数在定义域上是减函数，且，
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．设函数，则（ ）
A．10B．9C．7D．6
【答案】C
【分析】依据分段函数的解析式，将9代入计算函数值.
【详解】．
故选：C.
7．已知，则函数的图像必定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.
【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，
且当越来越大时，图象与轴无限接近.
因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.
故选：A．
8．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么使不等式成立的x的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合一元二次不等式的解法以及“”的定义求得正确答案.
【详解】，，，
由于表示不大于的最大整数，所以，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．，关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求出，关于x的不等式恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案.
【详解】当对于，关于x的不等式恒成立，
则，得，
对于A，是充要条件，所以A错误，
对于B，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以B正确，
对于C，因为当时，成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件，所以C错误，
对于D，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以D正确，
故选：BD.
10．已知函数，则正确的结论为（ ）
A．的定义域为B．函数的图像关于y轴对称
C．在上单调递减D．在上的最小值为1
【答案】BD
【分析】由函数的解析式求其定义域，判断A，利用函数奇偶性定义判断B，去绝对值化简函数解析式，判断其单调性；判断C，利用函数的单调性求其最值，判断D..
【详解】对于A，由有意义可得，化简可得，所以函数的定义域为，A错误，
对于B，因为，所以为偶函数，的图像关于y轴对称，故B正确；
对于C，当时，，
所以函数在上单调递增，C错误；
当时，，所以函数在上单调递减，又函数为偶函数，作出函数的图象如下，
有最小值，故D正确．
故选：BD.
11．设函数其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数B．当时，有
C．方程有6个实数解D．当时，
【答案】ABC
【分析】在同一直角坐标系中画出，，，进而得的解析，结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论．
【详解】在同一直角坐标系中画出函数，，的图象如图（1）所示，
由图象可知：，
进而可得的图象，如图（2）
显然有，可得为偶函数；故A正确；
又当时，，的图象可看作的图象右移2个单位得到，显然时，的图象在图象之上，故当，时，有，故B正确；
由的图象可知直线与的图象有6个交点，故有6个实数根，故C正确；
若，，，显然，故D不正确，
故选：ABC．
12．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的定义域为R，值域为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.
【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；
函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；
由图象知函数是偶函数，C正确；
由图象知D不正确．
故选：ABC．
【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.
三、填空题
13．设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析在同一坐标系中的图象知只能为R上的单调递增， 由的单调区间知，分别就从图象上观察的单调性，确定的取值范围.
【详解】因为当时，均为增函数，故只能为R上的单调递增函数，
在上为增函数，在上为减函数，故，
当时，，观察图象知为R上的单调递增函数；
当时，，均为增函数，且在处，的函数值比的函数值小，观察图象知为R上的单调递增函数；
当时，当时，，从图象上看，图象比图象高，故为R上不再单调，所以不合题意；
综上：.
故答案为：.
14．定义在上的函数，当时，．若函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性（对称性）求得正确答案.
【详解】函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以关于对称，即，
所以.
故答案为：
15．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.
【详解】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
16．化简： ．
【答案】
【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒
【详解】原式
故答案为：﹒
四、解答题
17．计算下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用分数指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
五、计算题
18．已知，且，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）给分子分母同时乘以，化简后代值计算即可；
（2）先对分子分解因式，化简后代值计算即可.
【详解】（1），，
，
（2）.
六、解答题
19．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，
因为，所以，所以（经检验，符合题意）
（2）由（1）得，
因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
（3）因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值.
所以，即实数k的取值范围是
七、应用题
20．在党的二十大胜利召开之际，某厂发行具有音频功能的《光辉历程》纪念册．生产该产品需要固定设备投资10万元，每生产x万册纪念册，投入生产成本万元，且每册纪念册售价30元，根据市场调查生产的纪念册能全部售出．
(1)求利润（万元）关于生产册数x（万册）的函数关系式；
(2)问生产多少册纪念册时，利润最大？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
【分析】（1）根据所给条件用总销售收减去所有成本可得利用函数；
（2）根据利用函数，一段由二次函数性质得最大值，一段用基本不等式得最大值，再比较可得．
【详解】（1）因为
所以
（2）时，，时，最大值，
时，，当且仅当，即时等号成立．
综上，生产7万册纪念册时，利润最大，最大值为60万元．
八、解答题
21．（1）已知为一次函数，若，求的解析式.
（2）已知函数是定义在上的奇函数，当时函数，求函数的解析式.
【答案】（1）或
（2）
【分析】（1）设出一次函数解析式，进而得到，得到方程组，求出的值，求出解析式；
（2）先由时函数，得到当时，，进而由函数奇偶性得到时的解析式，结合，求出答案.
【详解】（1）设，
则，
所以，
解得：，
当时，，解得：，
所以一次函数解析式为，
当时，，解得：，
所以一次函数解析式为，
综上：或；
（2）当时，，
令，则，
则，
故当时，，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以当时，，故，
当时，，
综上：.
22．已知，.
(1)若，使成立，求实数的取值范围.
(2)若，，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，利用基本不等式得在的值域，从而得到的取值范围；
（2）若，，使，则的值域的值域，分，，三种情况讨论分析即可得出答案.
【详解】（1）因为，，当且仅当即时等号成立，
所以的值域是，
所以若，使成立，则实数的取值范围为.
（2）若，，使，则的值域的值域，又的值域是，
当时，则为减函数，当时，，而，不满足的值域的值域；
当时，，不满足的值域的值域；
当时，则为增函数，当时，，的值域是，所以，则，
故实数的取值范围为.