2023-2024学年北京大学附属中学惠新校区高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京大学附属中学惠新校区高一上学期期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，则（ ）
A．B．2，3C．D．
【答案】C
【分析】利用集合交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，集合，
所以，
故选：C
2．“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】特称命题的否定是全称命题
【详解】因为特称命题的否定是全称命题
所以“，”的否定是“，”
故选：B
【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可.
【详解】因为，所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
4．下列函数中与函数是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据定义域，值域以及对应法则进行判断是否为同一函数.
【详解】.的定义域为,值域为，函数和的值域都为，与题干函数值域不同，所以A，B错误；
函数的定义域和值域与题干中的一致，且可化简为，对应法则也一致，所以C正确；
函数的定义域为，与题干中的函数定义域不同，所以D错误.
故选：C
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.
【详解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，
由可得，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6．下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】对于A：函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故A正确；
对于B：函数为奇函数，但是在上为减函数，故B错误；
对于C：函数定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：函数定义域为，且，故为偶函数，故D错误；
故选：A
7．定义域，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义域及解析式，求出的值域.
【详解】因为，，
所以，
故值域为，
故选：D
8．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（ ）
A．3B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根据图象可得，进而根据表格得.
【详解】由题图可知，由题表可知，故．
故选:D．
9．函数在下列哪个区间存在零点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首项判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】函数定义域为,
当时恒成立，当时单调递增，单调递增且大于零恒成立，单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又，，
即，所以的零点位于区间内.
故选：C
10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.
二、填空题
11．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】确定相应二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集．
【详解】原不等式可化为，．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握三个二次之间的关系是解题关键．
三、双空题
12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ； ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，当时，，
所以，.
故答案为：；
13．已知函数，则 ； ．
【答案】
【分析】利用换元法求出函数解析式，再代入求值.
【详解】因为，令，则，
所以，
所以，则.
故答案为：；
四、填空题
14．已知函数是偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】函数是偶函数，且在上是增函数，又，
则在上单调递减，且，
所以当或时，
即不等式的解集为.
故答案为：
五、双空题
15．定义：，那么对于，设函数，则 （用分段函数表示）；函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据题意，分类讨论与两种情况，即可得到的分段函数表示；再分类讨论与两种情况，结合二次函数与一次函数的性质即可求得的值域.
【详解】因为，，
当，即时，；
当，即时，；
所以，
因为当时，，易知开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
又，所以，即；
当时，，故；
综上：，即的值域为.
故答案为：；.
六、填空题
16．已知函数，给出下列结论：
①，是奇函数；
②，不是奇函数；
③，方程有实根；
④，方程有实根．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【分析】根据奇偶性判断①②，由时方程有实根判断③④.
【详解】的定义域关于原点对称，且，则，是奇函数，故①正确，②错误；
，则，要使得该方程有解，即
所以，方程有实根，故③错误，④正确
故答案为：①④
七、解答题
17．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)用定义证明函数在区间上是增函数；
(3)判断函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案不要求写证明过程）
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)在上是单调增函数
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）根据题意，利用作差法证明即可；
（3）根据奇函数的性质即可判断.
【详解】（1）函数为奇函数，
证明：因为函数的定义域为，
且，所以函数是奇函数；
（2）设任意的且，
则，
又由，则，，，
则有，
所以在上是增函数；
（3）函数在上是单调增函数，
因为为奇函数且在上是增函数，
所以在上是单调增函数.
18．已知函数．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)若在上是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1）的最大值是，最小值是；（2）.
【分析】(1)先将二次函数的解析式配方，再根据区间端点值与对称轴的位置关系求最大值和最小值.
(2)二次函数在区间上是单调函数，则此区间完全在对称轴的一侧.
【详解】（1），，
的最小值是，的最大值是，
即在区间上的最大值是，最小值是．
（2）在上是单调函数，
，或，解得或，
故的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数的最值和单调性，解题时要牢记二次函数图象的对称轴为直线.
19．二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题．
条件①：；
条件②：不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)在区间上，函数有零点，试确定实数m的取值范围；
(3)设当（）时，函数的最小值为，求函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）若选①，设，根据条件代入列出关系式，求解即可. 若选②，设，求出，原题可转为已知一元二次不等式的解集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可求得；
（2）求出函数在上的值域，依题意可得与在区间上有交点，即可求出参数的取值范围；
（3）对称轴为，讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值.
【详解】（1）若选①：由已知可设.
则，
所以，又，.
所以，解得，所以；
若选②：由已知可设.
则，所以，，
由，可得，
即的解集为.
所以和是方程的两个根且，
由韦达定理可得，解得，所以.
（2）由（1）可知，
则函数在上单调递减，又，，
所以在上的值域为，
因为在区间上，函数有零点，
即在区间上有解，
所以与在区间上有交点，
则，即实数m的取值范围.
（3）函数对称轴为，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，；
当时，在上单调递增，.
综上所述，.
x
1
2
3
2
3
0