2023-2024学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高一上学期10月期中练习数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市海淀区首都师范大学附属中学高一上学期10月期中练习数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，应用题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由补集定义可直接求得结果.
【详解】，，.
故选：B.
2．若，，,则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：，，
故
【解析】对数的运算
3．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断.
【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误；
对于B选项，若，则.故B选项错误；
对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确；
对于D选项，因为，所以，所以，
所以，即.因为根据题意不知道的符号，
所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误.
故选：C.
4．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．－3B．－6C．13D．1
【答案】C
【分析】由图可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求.
【详解】由直线，，知，
又由二次函数的对称性和图象知顶点为，
所以，解得，
由的两根为，，得，，
则．
故选：C.
5．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】转化为与的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案.
【详解】函数的图象如下图，
方程有且只有两个不相等的实数根可看作的图象
与的图象有2个不同的交点，可得.
故选：A.
6．已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，，，D错误.
故选：B.
7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．

8．设集合，集合若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.
【详解】由已知可得集合或,
由解得，，
所以，
因为，所以，则，且小于0，
由中恰有一个整数，所以，
即，也即，解得，
故选：B．
9．已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据可得，由奇偶性定义可知充分性成立；由为奇函数可知，由此可构造方程求得，知必要性成立，由此可得结论.
【详解】当时，，，
为奇函数，充分性成立；
当为奇函数时，由得：，
，即，必要性成立；
“”是“为奇函数”的充分必要条件.
故选：C.
10．白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为，可因每日不同时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可以用对数模型：描述白细胞数量（单位：）随用药量m（单位：mg）的变化规律，其中为初始白细胞数量，K为参数.已知，用药量为50时，在规定时间后测得白细胞数量为14，若使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（ ）（参考数据：）
A．58B．59C．60D．62
【答案】D
【分析】由已知条件求出值，再令，根据对数运算求得结果即可.
【详解】由已知，，，代入，
则，解得，
则，
因为用药量为50时，在规定时间后测得白细胞数量为14，白细胞数量偏高，
所以令，即，解得.
所以使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到62.
故选：D.
二、填空题
11．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由题意可得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果.
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：
13．设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先计算，解得或，分别讨论和两种情况，根据函数的单调性计算得到答案.
【详解】函数的图象的开口向上，且存在，使得成立
所以，解得或．
①当时，若存在，使得成立，则，
此时函数的图象的对称轴为直线，且
故函数在上单调递增．又，所以不成立．
②当时，若存在，使得成立，则
此时函数需满足，解得．
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为
【点睛】本题考查了函数的取值范围，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
三、双空题
14．已知函数.若存在，对于任意的，，则a的一个取值可以是 ；满足条件的a值共有 个.
【答案】 （答其中一个即可） 4
【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再由函数图像具有对性逐段分析求出即可.
【详解】任意的，，即函数图像关于对称，
当时，，当时，，
所以，当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
图像具有对称性，则对应函数的中间部分也要对称，即应恒为常数，
即当且仅当，即时，
函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，，
当且仅当，即时，但，取不到，
故不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，所以a的一个取值可以是（答其中人一个即可），满足条件的a值共有4个.
故答案为：（答其中一个即可） 4
15．已知函数.
（1）当时，函数的值域为 ；
（2）若存在实数m，使得关于x的方程恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】（1）分别求和时函数的值域，再求并集即可；
（2）将恰有三个不同的实数根转化为与有三个交点，结合二次函数和一次函数的图象与性质可得.
【详解】（1）当时，，
当时，，其对称轴为，
故在区间上单调递减， ，
当时，区间上单调递减，，
综上函数的值域为；
（2）恰有三个不同的实数根，
则当时，与有两个交点，
当时，与有一个交点，
如图：
故，当时，，故得，
故，
故答案为：；
四、解答题
16．已知集合，定义在集合A上的两个函数和的值域分别为集合B和集合C.
(1)若，求，；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一次函数以及二次函数的性质求解值域，即可根据集合的交并补运算求解，
（2）分类讨论求解二次函数的值域，即可根据集合包含关系求解.
【详解】（1）由题意知，故，
由于为单调递增函数，所以.
（1）当时，，，，
所以，.
（2）当时，，
又，故，解得，与相矛盾；
当时，，
又，故，解得，所以；
当时，，又，
故，解得，所以.
综上所述，实数a的取值范围为.
五、应用题
17．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.
（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得的取值范围，由此求得的最大值.
【详解】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
化简得，（）.
由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题.
六、解答题
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数和的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)函数在上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.
（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.
（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
所以得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，
（2）由（1）可知，设
所以
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
（3）由函数是定义在上的奇函数且，
则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
19．已知函数.
（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，解集为或；当时，解集为；
当时，解集为．；（II）．
【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．
详解：（Ⅰ）由得,
即
①当，即时，解得；
②当即时，解得或；
③当，即时，
由于 ，
故解得．
综上可得：当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．
（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．
即对任意的恒成立，
由于，
∴对任意的恒成立．
令，
∵，
当且仅当，即时等号成立．
∴，
∴实数的取值范围是．
另解:
不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设
(1)当时,,解得
(2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去
(3)当时,
(ⅰ),即,得
(ⅱ),解得
综上可得实数的取值范围是．
点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．
七、问答题
20．已知函数的定义域为，对于任意的x，，有，且当时，.
(1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
(2)若，对一切，（其中）恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数是的奇函数，函数在上单调递增，证明见解析
(2)或
【分析】（1）令可得，再令，可得，从而可得函数是的奇函数；设，则，进而可得，从而可得，即可得到函数在上单调递增；
（2）当时，由可得，参变分离后可求得；当时，分、两种情况求解，最后求交集即可.
【详解】（1）函数是的奇函数，理由如下：
令，可得，可得.
令，可得
函数是的奇函数；
函数在上单调递增.理由如下：
设，则，
，
即，
函数在上单调递增.
（2）当时，对一切恒成立，
，
可得，
在上单调递增，
，
，解得或，又.
当时，对一切恒成立，
当时，，
可得，
在上单调递增，
，解得，又，；
当时，，，
可得，，又，解得.
所以当时，对一切恒成立，求得.
综上可得，或.
八、解答题
21．若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．
(1)写出集合的所有不同的2划分；
(2)设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
(3)设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．
【答案】(1)
(2)①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明过程见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；
（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；
（3）用反证法进行证明,
【详解】（1）集合的所有不同的2划分为
（2）①可能成立，举例如下：，；
②可能成立，举例如下：，；
③可能成立，举例如下：，；
④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s因为s为中元素的最大值，所以，
因为t为中元素的最小值，所以，
因为，所以，
这与矛盾，
所以假设不成立，即④不可能成立；
（3）由于集合A中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素，
不妨设中至少包含6个元素，
设且，
假设对任意，对任意，都有，
那么，
又因为，
所以，
则，中必有一个集合至少包含中的3个元素，
不妨设这3个元素为，
由假设可知：，
对任意，存在，
都有，
又因为，而，与假设矛盾，
所以假设不成立，
所以存在，存在，使得
【点睛】对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论.