2023-2024学年北京市育英学校高一上学期期中考试（1_6班）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市育英学校高一上学期期中考试（1_6班）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，证明题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对集合化简，然后利用并集运算，求出即可.
【详解】，
又因为，
所以，
故选：D.
2．已知命题：，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：根据含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”可知，
∵命题：，
∴：.
故选：D.
3．下列各组函数为同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断函数定义域是否相同，再判断函数解析式是否相同即可.
【详解】对于A：的定义域为,的定义域为，A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为，B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，且，C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为，D错误，
故选：C
4．若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（ ）
A．B．
C．或D．且
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的解法，分类讨论运算即可得解.
【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，舍去；
当时，方程的解集为单元素集合，
即方程有两个相等的实根，
∴，解得：；
综上，.
故选：B.
5．若为实数，且，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】因为，所以，，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：A
6．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A满足．
故选A．
7．下列选项中，：，：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件、充要条件的定义、一元二次不等式的解法运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，，
当时，不等式即，解得：或；
当时，不等式即，解得：或；
∴：或或或，
∴当或时，一定有；
但当时，不一定有或；
即，但不能，即是的必要不充分条件.
故选：B.
8．已知关于的方程组：(其中)无解，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得方程无解，所以，且不同时为1，然后利用基本不等式可得答案
【详解】解：由方程组得，所以方程无解.
所以当，且不同时为1，其中，
∴，即.
故选：B
【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想，属于中档题.
9．函数，（，其中表示不大于的最大整数．）的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的表达式，分段研究在区间与的取值，再结合函数的周期性，求值域即可.
【详解】由题意，表示不大于的最大整数，则，
所以，
，
则函数是以为周期的函数，
当时，；
当时，，
则，又是以为周期的函数，
则的值域为.
故选：D.
10．已知函数在区间上的最大值是3，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】，
因为，所以，
当时，，
当时，取到最大值，由题意，
所以，不满足，舍去；
当时，，
当或时，取到最大值3，满足题意，所以；
当时，根据二次函数性质知：，
又，且函数在区间上的最大值是3，
则，解得，又，所以；
综上，.
故选：B.
二、填空题
11．已知函数满足，则 ．
【答案】4
【分析】根据函数解析式代入即可.
【详解】因为，将代入可得，
故答案为：4
12．函数f(x)=的定义域为 .
【答案】且
【解析】由分母不能为和根式内部的代数式大于等于联立不等式组，解得即可.
【详解】由题意得：，解得，所以定义域为且.
故答案为：且
【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
13．设是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上是减函数，
不等式，等价为，即，
所以，即，即，解得
即
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．
14．能够说明“若，，是任意正实数，则”是假命题的一组整数，，的值依次为 .
【答案】，，（答案不唯一）
【解析】取，再使用反证法即可得出答案.
【详解】取，，即，
所以若，，是任意正实数，是假命题.
故答案为：，，
15．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，
①；
②；
③“”是“”的必要不充分条件；
④若，则
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【分析】根据新定义结合一元二次方程逐个判定对错即可.
【详解】对于①：当时，①正确；
对于②：当时，此时，②错误；
对于③：当时，所以，，所以，所以；
当时，因为，所以或，
若，满足，解得；
若，因为方程的两个根和都不是方程的根，
所以需满足，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，③错误；
对于④：因为，要使得时，所以或，
由③可知：或，
所以，所以，④正确，
故答案为：①④
三、问答题
16．已知全集，集合或，．
(1)当时，求，；
(2)若命题“”是真命题，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用数轴法表示集合，利用集合的运算分析运算即可得解.
（2）根据题设命题为真命题得到集合的关系，利用集合的包含关系运算即可得解.
【详解】（1）解：
集合或如上图所示，又∵全集，
∴.
当时，，如上图所示，则.
（2）解：由（1）知，
∵，∴，
∵命题“”是真命题，
∴，则有，解得：，
∴的取值范围为.
17．如图所示，函数的定义域为，的图象为折线，其中．
(1)求的解析式；
(2)解不等式
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用利用斜率公式、直线方程运算即可得解.
（2）利用分类讨论法、一元二次不等式的解法运算即可得解.
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴直线方程为，即，
直线方程为，即，
∵函数的定义域为，的图象为折线，
∴.
（2）解：当时，由得，
即，解得：；
当时，由得，
即，解得：；
综上知，，即不等式的解集为.
18．关于的不等式的解集为
(1)求实数值；
(2)若实数，满足，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程的根、一元二次不等式的解法运算即可得解.
（2）利用（1）求得的实数的值、基本不等式运算即可得解.
【详解】（1）解：∵的解集为，
∴和是方程的两个根，
∴，解得：，，
当，时，不等式即为，
即：，则有，解得：，
即不等式的解集为，符合题意，
∴，．
（2）解：∵，，
∴，则，
∴，
∵，即，则，，
∴，当且仅当即时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.
四、证明题
19．已知．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：函数在区间上单调递增．
【答案】(1)是非奇非偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，即可得出结论；
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）解：由，可得函数的定义域为．
因为不关于原点对称，
所以函数不具有奇偶性，即是非奇非偶函数．
（2）证明：、，且，
由，
可得
，
因为，所以，且，
所以．
即，亦即函数在区间上单调递增．
五、应用题
20．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考查和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高万元，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在（1）的条件下，设表示这200户农民动员后总收入与动员前总收入之差，求最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意列出不等式求解即可；
（2）由题意的函数解析式，再讨论对称轴与定义域的关系求最大值即可.
【详解】（1）由题意可以列不等式：，
解得，
故x的取值范围为.
（2）由题意，，
，
函数对称轴，
当时，即时，；
当时，即时，；
综上，时，万元，时，万元.
六、解答题
21．设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.
【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质